Ecuación diferencial de una antena parabólica

Question

Se sabe que los rayos paralelos que inciden en una antena parabólica se reflejan hacia un punto. Además, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Me gustaría saber si alguien puede darme la ecuación diferencial de una antena parabólica

Answer 1

La ecuación es la ecuación de onda $$\partial_{ct}^{2}\vec{\Psi}+\Delta\vec{\Psi}=0$$ La solución es $$\vec{\Psi}(t, \vec{r})=\int\vec{\Psi}_{i}(\omega, \vec{q})e^{i\omega{t}-\vec{q}\cdot{\vec{r}}}d\omega{d}^{3}q+\int\vec{\Psi}_{s}(\omega, \vec{q})e^{i\omega{t}+\vec{q}\cdot{\vec{r}}}d\omega{d}^{3}q$$ Donde los índices $i, s$ corresponden a las ondas incidentes y esparcidas respectivamente. Suponga que su paraboloide está dado por $\Sigma=\{z=ax^{2}+ay^{2}\}$. Luego toma la solución $\Psi$ y aplica las condiciones de contorno en $\Sigma$. Suponiendo que el paraboloide es un reflector perfecto, obtendría algo como $$\vec{\Psi}|_{\vec{r}\in\Sigma}=0$$ $$\nabla\wedge\vec{\Psi}|_{\vec{r}\in\Sigma}=0$$ Lo cual le dará la relación entre las señales incidentes y esparcidas. Los máximos de intensidad de la señal esparcida estarán en algún punto del eje $z$ (¡sin sorpresas))) la ubicación de este punto dependerá de $a$ (supongo), así que querrá ajustar $a$ dependiendo de la posición de su receptor.