Espacios propios en la descomposición de Jordan-Chevalley

Question

Si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo algebricamente cerrado $F$ y $x\in\operatorname{End}(V)$, entonces por la Descomposición de Jordan-Chevalley tenemos que $x=x_s+x_n$ donde $x_s$ y $x_n$ son las partes semisimple y nilpotente de $x respectivamente,$x_n$y$x_s$siendo ambos polinomios en$x$sin término constante. Quiero demostrar que si$a$es un eigenvalor de$x$, entonces el espacio propio generalizado de$x$correspondiente a$a$es exactamente el mismo que el espacio propio de$x_s$correspondiente a$a$. He logrado demostrar que el espacio propio de$x_s$correspondiente a$a$está contenido en el espacio propio generalizado de$x$correspondiente a$a. Pero no logro demostrar la conversa.

Answer 1

Puedes ver esto a partir de una construcción explícita de $x_s$. Escribe el polinomio característico de $x$ como $\prod_{i=1}^k (T - \lambda_i)^{m_i}$ donde $\lambda_i \neq \lambda_j$ para $i \neq j$. Los espacios generalizados propios de $x$ son $V_i = \ker((x - \lambda_i \cdot \mathrm{id})^{m_i})$. Sea $p \in F[T]$ un polinomio que satisface las relaciones de congruencia

$$p(T) \equiv \lambda_i \mod (T - \lambda_i)^{m_i} \,\,\, \forall 1 \leq i \leq k.$$

Entonces $x_s = p(x)$ y $x_n = x - p(x)$. Dado que $x_s$ es un polinomio en $x$ y $V_i$ es invariante bajo $x$, vemos que $V_i$ también es invariante bajo $x_s$. Las relaciones de congruencia muestran que $x_s|_{V_i}$ actúa en $V_i$ como un operador escalar multiplicando cada vector por $\lambda_i$. Por lo tanto, cada $V_i$ consiste de vectores propios regulares de $x_s$ correspondientes al valor propio $\lambda_i$. Dado que $V = \bigoplus_{i=1}^k V_i$, vemos que los espacios generalizados propios de $x_s$ son los $V_i$ y de hecho son espacios propios regulares.

Si no estás familiarizado con esta construcción explícita, entonces esto muestra que $x_s$ (definido como $p(x)$) es semisimple. Cada $V_i$ también es invariante bajo $x_n = x - p(x)$ y las relaciones de congruencia muestran que $x_n|_{V_i}$ es nilpotente y por lo tanto $x_n$ es nilpotente. Dado que $x_s$ y $x_n$ son polinomios en $x$, conmutan y así, por la unicidad de la descomposición de Jordan-Chevalley, esto muestra que el $x_s$ descrito anteriormente es el $x_s$ garantizado por la descomposición de Jordan-Chevalley.