¿Por qué la convolución con el núcleo de Fejer es suficiente para demostrar este resultado?

Question

El ejercicio 2.9 en la Introducción al análisis armónico de Katznelson dice lo siguiente.

Demuestra que para $f \in L^{1}(\mathbb{T})$ la norma del operador $ F: g \mapsto f * g$ en $L^{1}(\mathbb{T})$ es $||f||_{L^{1}}$.

Puedo ver fácilmente que $||f * g)||_{1} \leq ||f||_{1}||g||_{1} \ \forall \ g \in L^{1}(\mathbb{T})$ y así que $||F||_{\text{operador}}$ está acotado usando el teorema de Fubini, pero estaba teniendo dificultades para demostrar la igualdad real.

Entonces mi profesor me dijo que la solución era simplemente recordar que para el núcleo de sumabilidad de Fejér $K_{n}$,

$$ f * K_{n} \to f \text{ cuando } n \to \infty$$

y así $||f * K_{n}||_{L^1} \to ||f||_{L^1}$, por lo tanto $||F||_{\text{operador}} = ||f||_{L^1}$.

Mi pregunta es, ¿por qué es suficiente mostrar solo esto? He estado mirando mis definiciones para el núcleo de Fejér y los núcleos de sumabilidad, y no puedo dar el paso lógico de intentar mostrar "$\sup_{||g||_{L^{1}} \leq 1} ||f * g||_{L^{1}} = ||f||_{1}$" siendo equivalente a mostrar "$||f * K_{n}||_{L^1} \to ||f||_{L^1}$", y entonces creo que debe estar faltándome algo muy obvio.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\|K_n\|_{L^1}=1$ (usando la normalización de Katznelson). Sea $A$ la norma del operador de $g\mapsto f*g$. Sabemos que $A\le \|f\|_{L^1}$. Luego $\|f\ast K_n\|_{L_1}\le A\|K_n\|_{L^1}=A$. Pero $\|f\ast K_n\|_{L^1}\to \|f\|_{L^1}$, así que en el límite, $\|f\|_{L^1}\le A.

Answer 2

Estaba mirando esta pregunta pensando "¿Por qué es esto cierto?", luego me di cuenta de la máxima: dejaríamos $\delta_{0}$ en $L^{1}$ si pudiéramos.

Pretendamos momentáneamente que $\delta_{0} \in L^{1}(\mathbb{T})$ ($\delta_{0}$ siendo la masa de Dirac en $0 \in \mathbb{T}$). Sabemos que $K_{n} \rightharpoonup \delta_{0}$ débilmente$*$ en $C(\mathbb{T})^{*}$. Vamos a pretender que podríamos mejorar eso a $L^{1}(\mathbb{T})$. Entonces $$\|f\|_{L^{1}(\mathbb{T})} = \|f * \delta_{0}\|_{L^{1}(\mathbb{T})}$$ y $\|\delta_{0}\|_{L^{1}(\mathbb{T})} = 1$ ya que $K_{n} \to \delta_{0}$ entonces $\|f\|_{L^{1}(\mathbb{T})} = \|F\|$ inmediatamente.

En cambio, tenemos que reemplazar $\delta_{0}$ con su aproximación $(K_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ y tomar límites $$\|f\|_{L^{1}(\mathbb{T})} = \lim_{n \to \infty} \|f * K_{n}\|_{L^{1}(\mathbb{T})}.$$ La respuesta aceptada es rigurosa, pero espero que esto ayude.