Dada una representación suave $(\pi,V)$ de un grupo $G$, ¿cuál es la representación suave natural de $G$ en $V/U$, donde $U$ es $G$-estable?

Question

Tengo el siguiente problema:

Sea $(\pi,V)$ una representación compleja suave de un grupo localmente profinito $G$. Sea $U$ un subespacio de $V$ estable bajo $G$. Muestra que hay una representación natural de $G$ en el cociente $V/U$ que es suave. La definición de suave con la que estoy trabajando es que para todo $v \in V$, existe un subgrupo compacto abierto $K$ de $G$ tal que $\pi_k(v)=v$ para todo $k \in K$.

Mi intento:

Dado un elemento $\pi_g \in \text{Aut}_{\mathbb{C}}(V)$, definimos un elemento $\overline{\pi_g} \in \text{Aut}_{\mathbb{C}}(V/U)$ mediante $\overline{\pi_g}(v+U)=\pi_g(v)+U$. Es claro que $\overline{\pi_g}$ es un mapa lineal, con inversa $\overline{\pi_{g^{-1}}}$. Además, para cualquier $g,h \in G$ se cumple \begin{equation} \overline{\pi_{gh}}(v+U)=\pi_{gh}(v)+U=\pi_g\pi_h(v)+U=\overline{\pi_g}(\pi_h(v)+U)=\overline{\pi_g}\overline{\pi_h}(v+U) \end{equation} así que $(\overline{\pi},V/U)$ es una representación de $G$. Dado un elemento representante $v$ del elemento $v+U \in V/U$, existe un subgrupo compacto abierto $K$ de $G$ tal que $\pi_k(v)=v$ para todo $k \in K$. Como \begin{equation} \overline{\pi_k}(v+U)=\pi_k(v)+U=v+U, \end{equation} concluimos que $(\overline{\pi},V/U)$ también es suave.

Estoy intentando entender por qué necesitamos asumir que $U$ es un subespacio de $G$. Parece que es necesario para asegurar que $\overline{\pi_g}$ es lineal para todo $g$. Porque si hubiera algún $g$ tal que $\pi_g(U) \not\subset U$, entonces existe algún $u \in U$ tal que $\pi_g(u) \not\in U$ y así \begin{equation} \overline{\pi_g}(U)=\overline{\pi_g}(u+U)=\pi_g(u)+U \neq U \end{equation} contradiciendo que $\overline{\pi_g}$ sea lineal. ¿Es esto correcto, o hay alguna otra razón?

Por último, ¿en qué sentido la representación $(\overline{\pi},V/U)$ es "natural"?

Answer 1

También soy un nuevo aprendiz en estos temas, así que lamento mucho si me equivoco.

Pregunta: ¿Dónde se utiliza la propiedad $G$-estable de $U$?

Respuesta: Para hacer la representación cociente, es decir, la representación $\overline{\pi}: G \rightarrow \mathrm{Aut}(V/U)$ bien definida. Recuerda que en tu definición de $\overline{\pi}_g$, $$ \overline{\pi}_g (v+U) := \pi_g(v) +U. $$ Pero ¿es esta definición independiente de la elección del representante del coset $v+U$? En otras palabras, si elegimos otro representante $v^{\prime} \in V$ tal que $v+U = v^{\prime} + U$, ¿realmente son iguales $\pi_g(v) +U$ y $\pi_g(v^{\prime}) +U$ como dos cosets en $V/U$? Para verificar esto, debemos demostrar que $$\pi_g(v^{\prime}) - \pi_g(v) \in U.$$ De hecho, dado que $\pi_g$ es lineal, $\pi_g(v^{\prime}) - \pi_g(v) = \pi_g(v^{\prime}-v)$. Ahora como $v+U = v^{\prime} + U$, vemos que $v^{\prime} - v \in U$. Por lo tanto, por la propiedad $G$-estable de $U$, tenemos que $\pi_g(v^{\prime} - v) \in U$. ¡Esto es exactamente lo que queremos!

La discusión anterior no tiene nada que ver con la suavidad de la representación y es un procedimiento general cuando se espera definir algo como "acción cociente". Solo después de verificar las cosas anteriores podemos decir que una representación de $G$ en $V/U$ está definida.

Pregunta: ¿Qué significa la palabra natural?

Respuesta: Desde mi punto de vista ingenuo, simplemente significa que es la forma canónica de definir tal representación, es decir, cualquiera en el mundo que esté familiarizado con el álgebra primero llegará a la misma definición que la tuya. No estoy seguro si hay un significado categórico de "natural" aquí.

Respuesta': Empaquetando las representaciones suaves de $G$ como una categoría abeliana, el cociente definido anteriormente es de hecho el objeto cociente de un objeto $V$ con respecto al subobjeto $U$.