Dados tales que sumen 13 — ¿hay una forma más elegante de resolver este tipo de problema?

Question

Aquí está el problema:

Hay $6^3$ resultados posibles para rodar un dado $3$ veces. Fuera de estos, ¿cuántos rendimiento de un total de (exactamente) $13$ puntos?

Mi solución sería absolutamente inviable para problemas que involucran $4$ rollos de morir. Y en un mayor número sería francamente imposible sin fuerza bruta con un ordenador.

Hay una forma más elegante de resolver este tipo de problema?

Mi solución:

En primer lugar nos encontramos todos los conjuntos de $\{a, b, c\}$ tal que $a + b + c = 13; \; a, b, c \le 6$:

$\{1, 6, 6\}$

$\{2, 5, 6\}$

$\{3, 4, 6\}, \{3, 5, 5\}$

$\{4, 4, 5\}$

El número total de conjuntos que se ajustan a estos criterios es $5$. Si $a \not= b \not= c$, entonces no existe $3!$ único permutaciones de $\{a, b, c\}$. Si $a = b \not= c$, entonces no existe $3$ único permutaciones de $\{a, b, c\}$. -- No puede ser un conjunto tal que $a = b = c$.

Hay $2$ conjuntos de primera especie y $3$ de la segunda. Se sigue que el número total de triple morir rollos que puede ajustarse a los criterios de

\begin{equation*} 2 \cdot 3! + 3 \cdot 3 = 21 \end{ecuación*}

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No puedo pensar en una segunda manera de hacerlo, que podría ser más rápido para un poco más grande de los números... pero esencialmente se reduce a la fuerza bruta, no es un método que puede ser generalizado.

Answer 1

Este es un enfoque que es adecuado en diversas circunstancias.

Considere la posibilidad de la expresión de $(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^3$. ¿Cuál es el coeficiente de $x^{13}$ al ampliar esto?

La expresión también puede ser re-escrita como $\left(\frac{x(x^6-1)}{x-1}\right)^3$ a hacer que sea menos difícil de manejar para trabajar con. El coeficiente de $x^k$ puede ser extraído mediante la toma de derivados, por ejemplo.

Esta es una herramienta muy útil que se puede aplicar en muchas situaciones de carácter más general, como se puede observar. Por ejemplo, usted podría sustituir a $1+x+\ldots+x^6$ por alguna otra expresión para representar a los dados con más caras, o a los dados con diferentes caras, o a los dados con pesas, etc.

Answer 2

En este caso es más fácil encontrar el número de tripletas $(a,b,c)$ que suma hasta 8. Si $(a,b,c)$ son posibles tiradas de dados que suma 8, $(7-a,7-b,7-c)$ también son posibles tiradas de dados y suma 13. En general, el número de maneras de hacer $x$ $21-x$ en los tres dados son el mismo. (Con dos dados, por supuesto, el número de maneras de hacer $x$ $14-x$ son los mismos.)

Por supuesto, esta es todavía la fuerza bruta, pero es bueno tomar ventaja de la simetría -- por ejemplo, si usted había pedido a encontrar el número de resultados dando a $k$ puntos para todos los de $k = 3, 4, \ldots, 18$, usted podría ahorrar tiempo realizando sólo la mitad de ellos.

Una forma de hacerlo para un número arbitrario de dados es el siguiente: vamos a $N(d,s)$ el número de maneras de rodar una suma de $s$ $d$ dados. (Así que usted está tratando de encontrar $N(3,13)$.) Con el fin de obtener una suma de $s$ $d$ dados, usted debe tener una suma de entre $s-6$ $s-1$ en el primer $d-1$ dados, y luego rodar el número que corresponda en la final mueren. Así que usted tiene $$ N(d,s) = N(d-1, s-1) + N(d-1, s-2) + \cdots + N(d-1, s-6) $$ cuando empezamos con $N(0,0) = 1$ $N(0,s) = 0$ para todos los demás enteros $s$. Usted puede modificar esto para obtener $$ N(d,s) = N(d, s-1) + N(d-1, s-1) - N(d-1, s-7)$$ y así se puede calcular cada una de las $N(d,s)$ con sólo una suma y una resta.

La generación de la función de método es en realidad el mismo que este, una vez que usted piensa acerca de cómo polinomio de multiplicación de las obras.

Answer 3

Si he entendido tu problema correctamente, entonces creo que podríamos usar las estrellas y las barras de concepto para una solución inteligente.

Por ejemplo, en su caso,

$$x_1+x_2+x_3 = 13$$

Número de enteros positivos solución posible tal que $x_i \ge 1$ está dado por $\binom{12}{2}=66$.

A continuación, establezca $x_1'=x_1+6$,por lo que la ecuación se reduce a: $$x_1'+x_2+x_3=7$$

que da $15$ solución posible,utilizando la misma cosa para $x_2$ $x_3$ veremos que tenemos más de contado a $3\times15$ soluciones en nuestro primer cálculo,por lo tanto, restando $66-45=21$.

Answer 4

Es una manera de generar funciones: formulario de $(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^3$ y encontrar el coeficiente de $x^{13}$

Answer 5

Si usted lanza el dado un número muy grande de veces, quizá habría alguna dificultad en encontrar el número exacto de las formas en que un cierto número puede aparecer. Pero el teorema del límite central de la teoría de la probabilidad puede dar algunas aproximaciones razonables.

Digamos que tirar el dado 40 veces. En promedio, la suma es de 140. Hay $6^{40}$ resultados posibles. Cómo muchos de los que dan un total en el intervalo cerrado $[135,150]$?

Cuando se lanza un dado una vez, la varianza de la distribución de probabilidad del número de puntos que usted ve es $35/12$, por lo que al tirar de 40 veces, la varianza es $40\cdot35/12= 10\cdot35/3$, y la desviación estándar es, por tanto,$\sqrt{350/3} = 10.801234497\ldots\ {}$. Para esta distribución discreta, "$\ge 135$" es lo mismo que "$>134$" y "$\le 150$" es lo mismo que "$<151$", por lo que hacer una corrección de continuidad y mirar el intervalo de $(134.5,150.5)$. El número de $134.5$ $(134.5-140)/10.801234497\ldots)$ desviaciones estándar por encima de la media, es decir, alrededor de $0.5092$ desviaciones estándar por debajo de la media, y $150.5$ es de alrededor de $0.972$ desviaciones estándar por encima de la media. Conectar estas en el acumulado de función de distribución de probabilidad $\Phi$ de la distribución normal, se obtiene una probabilidad de alrededor de $\Phi(0.972)-\Phi(-0.5092)=0.529$.

Por lo $0.529 \times 6^{40} \approx 7.074\times 10^{30}$ es de aproximadamente ¿cuántas posibilidades hay de obtener una suma en ese intervalo.