Superficies ortogonales a un campo vectorial

Question

Considera el campo vectorial $\mathbf F(x, y, z) = (y-x, x-y-xz, xy-z)$.

1. Encuentra las ecuaciones de las curvas características de $\mathbf F$ y discute la existencia de superficies ortogonales a $\mathbf F$.
2. Encuentra la familia de curvas de la parte 1 restringida al plano $z=0$.

En cuanto a la primera parte, las curvas características satisfacen

$$\frac{dx}{y-x}=\frac{dy}{x-y-xz}=\frac{dz}{xy-z}$$

o

$$\begin{align} (x-y-xz)dx&=(y-x)dy\\ (xy-z)dx&=(y-x)dx\\ (x-y-xz)dz&=(xy-z)dy \end{align}$$

y, si no me equivoco, la existencia de tales superficies está garantizada localmente ya que $\mathbf F$ es continua.

Sin embargo, no estoy seguro de qué se supone que debo hacer en la parte 2. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Si una curva característica $p(t) = (x(t), y(t), 0)$ permanece dentro del plano $z = 0$, entonces $\textbf{F}(x(t), y(t), 0)$ debería tener su componente $z$ permanecer en $0$, entonces $$x(t)y(t) = 0$$, y $$-(x-y)dy = (x-y)dx$$ Luego resuelve estos.