Encuentra la familia de funciones que satisface la desigualdad $\int_0^1 \frac{dx}{1+f^{2}(x)} <\frac{f(1)}{f'{(1)}}$

Question

Me pregunto cuál es la familia de funciones que satisface la siguiente desigualdad:

$$\int_0^1 \frac{dx}{1+f^{2}(x)} <\frac{f(1)}{f'{(1)}}$$

Esta desigualdad parece ser muy interesante, pero no estoy segura de cuándo funciona y cuándo no. Por ejemplo, funciona si tomo $f(x)=e^x$ que es $\int_0^1 \frac{dx}{1+e^{2x}} = 0.28 < 1.$

Answer 1

Si asumimos que: $f'$ es continua y no decreciente; $f'(1) \neq 0$; $f(0) = 0$; $f(1) \ge 0$, entonces: $$\int_0^1 \frac{f'(x)}{1 + f^2 (x)} \cdot \frac{dx}{f'(x)} \le \frac{\arctan f(1)}{f'(1)} \le \frac{f(1)}{f'(1)}$$