Muy confundido acerca de la dimensión de una matriz

Question

Estoy muy molesto y confundido por la dimensión de una matriz. Hasta ahora había pensado que la dimensión de una matriz es igual a su rango. Pero esto parece no ser el caso. ¿O es ese el caso a veces, en casos especiales...? Ves mi confusión justo aquí.

Tomemos esta matriz como ejemplo $A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ 2 & 4 & 4\\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

El rango de esta matriz es $2$. He utilizado Gauss y este fue el último resultado que obtuve (quiero ser breve):

$$A= \begin{pmatrix} 6 & 18 & 12\\ 0 & -8 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Pero, ¿por qué es la dimensión $3? ¿Simplemente porque esta matriz tiene $3$ columnas?

¿Por qué la gente dice que la dimensión es igual al rango? ¿O se refieren a la dimensión de una imagen cuando dicen eso?

Por favor, por favor estoy muy desesperado en este momento por seguir sin tener ni idea al respecto y pido amablemente una aclaración.

Answer 1

La confusión probablemente viene del hecho de que la palabra "dimensión(es)" se usa para diferentes cosas. Sin embargo, en el contexto de los espacios vectoriales, tiene un significado muy específico.

Una matriz con $m$ filas y $n$ columnas se denota como una matriz de $m \times n$. Esto te da el tamaño de la matriz pero a veces "$m$ por $n$" se refieren como las "dimensiones" de la matriz. Cuando $m=n$, este número a veces simplemente se llama la dimensión de la matriz cuadrada.

Hay varias maneras equivalentes de describir el rango de una matriz, por ejemplo, el número de columnas (o filas) linealmente independientes. En el contexto de los espacios vectoriales, es la dimensión del espacio de columnas (o filas) de la matriz. La palabra "dimensión" tiene un significado muy específico en este contexto, es decir, el número de elementos en una base para el subespacio.

Answer 2

Es mejor referir el uso del término dimensión solo a espacios vectoriales y sus elementos.

Entonces, para una matriz de $m$ filas y $n$ columnas, podemos decir que es una matriz de tamaño $m \times n$, que representa una transformación lineal de un espacio vectorial de dimensión $n$ (su dominio) a un espacio vectorial de dimensión $m$ (su codominio) y que su rango puede ser un número $p \le \mbox{min}(m,n)$.

También podemos decir que tal matriz es un elemento de un espacio vectorial de dimensión $q=n \cdot m$, porque el conjunto de matrices tiene una estructura de espacio vectorial: el espacio vectorial de las matrices, que es algo diferente de los espacios de dominio y codominio.

Answer 3

La dimensión de una matriz cuadrada es simplemente el número de columnas (o filas). El rango de una matriz es la dimensión del espacio vectorial abarcado por sus columnas (o filas). Por lo tanto, el rango de una matriz está limitado por encima por la dimensión de la matriz. Si es igual, entonces decimos que la matriz tiene rango completo y luego es invertible.

Estas definiciones aún se aplican para matrices no cuadradas. Si una matriz tiene $n$ filas y $p$ columnas, entonces su rango es $\leq\min(n,p)$.