El "sueño del novato" topológico

Question

Cuando uno aprende sobre los espacios cociente y productos en la topología por primera vez, es quizás natural esperar que se comporten como inversos mutuos:

Sueño del Novato Topológico (SNT). Para un espacio $X$ y un subespacio $\emptyset \neq Y\subseteq X$, los espacios $(X/Y)\times Y$ y $X$ son homeomorfos.

No es demasiado difícil ver que el SNT no es cierto incluso para espacios muy simples. Por ejemplo, toma $X=[0,1]$ y $Y=\{0,1\}$, entonces $X/Y\times Y$ es la unión disjunta de dos copias de $S^1$, obviamente no es lo mismo que $X$.

Existen dos casos triviales en los que el SNT sí se cumple, cuando $Y$ es un punto único y cuando $Y$ es todo el espacio $X$.

Pregunta. ¿Existe algún ejemplo no trivial en el que el SNT se cumpla?

He intentado durante un tiempo construir un ejemplo así sin éxito.

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Algunas observaciones incompletas:

• Si $X$ es conexo, entonces $Y$ también debe serlo. De lo contrario, $(X/Y)\times Y$ estaría desconectado.
• Podemos aplicar las herramientas de la topología algebraica para ver, por ejemplo, que el SNT implica $\pi_n(X)\cong\pi_n(X/Y)\times\pi_n(Y)$. Esta condición es bastante difícil de cumplir ya que implica que los grupos de homotopía del espacio cociente $X/Y$ son más simples que los de $X$, lo cual generalmente falla espectacularmente. Una idea similar también se puede aplicar a los grupos de homología y cohomología.
• Un caso especial del punto anterior implica que si $X$ es simplemente conexo, entonces tanto $Y$ como $X/Y$ son simplemente conexos (toma el grupo fundamental $\pi_1$).

¡Se agradece cualquier aporte!

Answer 1

Existen muchos ejemplos donde tanto $X/Y\cong X$ como $X\times Y\cong X$, de lo cual se sigue que $X/Y\times Y\cong X$. Probablemente el más fácil es si $X$ es un espacio discreto infinito y $Y$ es cualquier subespacio no vacío de $X$ tal que $|X \setminus Y|=|X|$. Para un ejemplo menos trivial, podrías tomar $X=\mathbb{Q}$ o $X=\{0,1\}^\mathbb{N}$ y $Y$ cualquier subconjunto finito no vacío de $X$ (para estos se necesita un poco de trabajo para mostrar que $X/Y\cong X$).

Aquí tienes un ejemplo no trivial en estos términos donde $X$ es un complejo CW. Sea $X\subset\mathbb{R}^2$ la unión de todos los círculos de radio $1$ centrados en puntos de la forma $(2a,3b)$ donde $a,b\in\mathbb{Z}$. Esto es una unión disjunta de infinitas "cadenas de círculos" infinitas unidas en puntos individuales. Sea $Y=\{(0,1),(0,-1)\}$. Luego, $X/Y\cong X$, ya que este cociente simplemente toma uno de los círculos y lo pincha para formar dos círculos (por lo que su cadena de círculos sigue siendo una cadena infinita de círculos), y $X\times Y\cong X$ ya que ese producto simplemente duplica el número ya infinito de cadenas de círculos en $X$.

Answer 2

Una clase potencial de ejemplos: Si $X$ es discreto infinito, digamos $|X| = \kappa \ge \aleph_0$.

Luego cualquier subespacio $Y$ es también discreto y así lo es $X{/}Y$. Un producto de dos espacios discretos también es discreto, por lo que todo se reduce a los tamaños, ya que espacios discretos son homeomorfos si y solo si tienen la misma cardinalidad:

Si $Y$ es finito, TFD se cumple ya que $X{/}Y$ tiene el mismo tamaño que $X$ y $|X| = |X| \times n$ para $\kappa$ infinito y $n$ finito.

Si $\lambda:=|Y| < |X|$ y también es infinito, entonces $|X{/}Y| = \kappa$ todavía y de hecho $\kappa \times \lambda = \kappa$ así que TFD se cumple.

Si $|Y| = |X|$ hay algunos casos que dependen de $|X\setminus Y|$, revíselo.

Otra clase potencial: espacios indiscretos, ya que todos los subespacios y cocientes por subespacios son indiscretos y la homeomorfía solo depende del tamaño.

Answer 3

Aquí hay un espacio compacto de Hausdorff conectado con esta propiedad: el cubo de Hilbert $X:=[0,1]^\omega$. Podemos elegir $Y:=\{x\in [0,1]^\omega\mid x_1=0\}\subset X$.

Admitidamente, este sigue siendo un ejemplo del tipo "Eric Wofsey": satisface $X/Y\cong X$ y $X\times Y\cong X$, y ahora me pregunto si hay ejemplos que no cumplan ninguno de los dos casos.

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Probando $X/Y\cong X$

El cubo de Hilbert se puede identificar con el siguiente subconjunto convexo compacto de $\ell^2$:

$$X:=[0,1]\times[0,1/2]\times[0,1/3]\times\cdots.$$

Creo que el cociente $X/Y$ es homeomorfo al siguiente subconjunto de $X$:

$$X/Y\cong \Big\{x\in X \;\Big\vert\; x_i\le \frac{x_1}i\text{ para todo $i\ge 2$}\Big\}.$$

Además, creo que este sigue siendo un subconjunto convexo compacto de $\ell^2$ de dimensión infinita. Wikipedia afirma que todo subconjunto convexo compacto de dimensión infinita de $\ell^2$ es homeomorfo al cubo de Hilbert.