Reconstrucción explícita de una función a partir de sus momentos

Question

Dejemos que $f$ sea una función integrable de valor real definida en $[0,\infty)$ . Sea $$m_n=\int_0^\infty f(x)x^n \mathrm dx$$ sea el $n^{th}$ momento, y supongamos que todas estas integrales convergen absolutamente. ¿Hay condiciones que podamos imponer a $f$ que nos permitiría escribir $f$ explícitamente en términos de sus momentos y de ciertas funciones simples.

Esta idea es similar al hecho de que podemos reconstruir funciones suficientemente agradables en $[0,1]$ a partir de la suma de sus coeficientes de Fourier y $e^{inx}$ . Además, en $(-\infty,\infty)$ podemos reconstruir $f$ de una integral sobre la recta real.

La analogía para $[0,\infty)$ y $x^s$ es, por supuesto, la transformada de Mellin, que tiene una fórmula de inversión como integral de línea en el plano complejo.

Mi pregunta es entonces: ¿Podemos imponer condiciones suficientemente agradables (no triviales) a una clase de funciones para poder invertir la transformada de Mellin en la recta real basada sólo en sus valores en los enteros positivos?

Gracias.

Nota: Yo soy no preguntando por el problema del momento y los requisitos de unicidad. (Por ejemplo Condición de Carleman etc.)

Answer 1

No sé por qué restringes tu expresión a la x positiva, porque si dejas que tu integral vaya desde el infinito negativo al positivo, la suma de los momentos parece tener una interpretación bastante sencilla. Basta con tomar la Transformada de Fourier de tu expresión con f(x) y obtienes la definición de la serie de Taylor para F(w). (Recuerda que las Transformadas de Fourier de las potencias de x son sólo las derivadas de la función delta). En otras palabras, las funciones que son expresables en términos de la suma de sus momentos son sólo las funciones cuyas Transformadas de Fourier son analíticas.

Answer 2

(Respuesta parcial) Podrías intentar buscar la interpolación de Newton y luego una transformada inversa de Mellin sobre el resultado:

Con $\bigtriangledown^{s-1}_n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \binom{s-1}{n}[...]$ , formalmente

$g(s)=\bigtriangledown^{s-1}_{n} \bigtriangledown^{n}_{j} \frac{m_j}{j!}$

$=\int_0^\infty f(x)\bigtriangledown^{s-1}_{n} \bigtriangledown^{n}_{j} \frac{x^j}{j!} dx$

$=\int_0^\infty f(x) \frac{x^{s-1}}{(s-1)!}dx$ = una transformada de Mellin modificada, y en consecuencia,

$m_j=j!g(j+1)=\int_0^\infty f(x) x^jdx$ .

A continuación, realizando la transformada inversa de Mellin modificada

$f(x)=\displaystyle\frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+ i\infty} \frac{\pi}{sin(\pi s)} g(s) \frac{x^{-s}}{(-s)!} ds$ .

A continuación, podría investigar qué clases de funciones permiten estas maniobras.

Un ejemplo trivial:

Con $m_j=a^j$ entonces $g(s)=\frac{a^{s-1}}{(s-1)!}$ continuado analíticamente desde la interpolación de Newton a todo $s$ y

$f(x)=\displaystyle\frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+ i\infty} a^{s-1} x^{-s} ds=\delta(x/a-1)/a= \delta(x-a)$ .

Otro ejemplo:

Dejemos que $U(\alpha,\beta,z)$ sea el función hipergeométrica confluente del segundo tipo .

Con $m_j=j!U(j+1,j+1+b,a)$ entonces $g(s)=U(s,s+b,a)$ continuado analíticamente desde la interpolación de Newton a todo $s$ y

$f(x)=\displaystyle\frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+ i\infty} \frac{\pi}{sin(\pi s)} U(s,s+b,a) \frac{x^{-s}}{(-s)!} ds=e^{-ax}(1+x)^{b-1}$ .

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Editar

(El enlace de mathoverflow en el comentario de abajo ilustra el Teorema Maestro de Ramanujan / Fórmula, que da f(x) como una serie de Taylor o potencia en términos de los momentos para una cierta clase de funciones. Véase también Chaudry y Quadir "Extension of Hardy's Class for Ramanujan's Interpolation Formula and Master Theorem with Applications" y Amdeberhan, Espinosa, Gonzalez, Harrison, Moll, and Straub "Ramanujan's Master Theorem".