¿Cómo puedo dejar de complicar las pruebas demasiado?

Question

Soy un estudiante de tercer año especializado en Matemáticas. Siempre que me siento para intentar probar algo, simplemente no sé qué ni por dónde empezar. El primer curso de pruebas que tomé fue calificado de manera muy estricta, por lo que perder un detalle muy pequeño me hacía perder muchos puntos (lo cual tiene sentido dado que es una clase introductoria a las pruebas y los "pequeños detalles" podrían no ser tan "pequeños").

Pero después de eso, me pongo demasiado ansioso cuando hago pruebas porque no sé qué tipo de detalle podría estar pasando por alto. Termino completando las pruebas obteniendo muchas pistas sobre dónde comenzar, y me lleva demasiado tiempo hacer una sola prueba (casi 2-3 días por teorema). Y como no quiero equivocarme en las pruebas, sigo buscando recursos para hacer las pruebas; así que básicamente termino no haciendo las pruebas yo mismo. Pero cuando veo las "soluciones" a las pruebas, me doy cuenta de que eran muy simples y yo las he estado complicando mucho.

Realmente amo las matemáticas y quiero poder entender realmente cursos como Análisis Real, y el miedo que siento con las pruebas definitivamente es un problema que quiero superar. Así que mi pregunta es

(i) Si has pasado por esta etapa, ¿cómo lo superaste?

(ii) ¿Hay algún consejo general para comenzar las pruebas?

Gracias.

Answer 1

Primera respuesta, por favor ten paciencia.

1. Considera la lógica del teorema. a) ¿Es si A, entonces B (A => B) o A si y solo si B (A <=> B)? En el segundo caso, el procedimiento general es probar A => B y luego B => A. Por lo general, hay una dirección fácil y una dirección más difícil. b) Para probar A => B, puedes i) asumir A, luego eventualmente llegar a B; ii) asumir ~B (el opuesto lógico de B) y encontrar ~A (el opuesto lógico de A); iii) proceder con una demostración por contradicción: asumir que A es verdadero y B es falso, luego eventualmente llegar a una contradicción (algo imposible), entonces significa que B debe ser verdadero; demostración por inducción: para mostrar que una declaración es verdadera para todo n>=1, mostrar el caso n=1 y mostrar que el caso n implica el caso n+1. Se requiere un poco de reconocimiento de patrones para construir una intuición sobre qué enfoque debería ser usado.

2. Divide y vencerás: divide el teorema en bloques más pequeños, luego procede a probar cada bloque individualmente. Por ejemplo, para probar A => B, probamos A => C, luego C => D, luego D => B donde A, B, C y D son proposiciones diferentes. Para encajar los bloques, piensa así: "si tuviera X, entonces podría probar X=>B", luego prueba que A=>X. O divide el problema en casos mutuamente excluyentes y prueba cada caso uno por uno.

3. Desarrolla una intuición trabajando en ejemplos pequeños o intentando encontrar contraejemplos. Comienza probando una declaración más simple (por ejemplo, para una clase más restrictiva de funciones o en una dimensión solamente), luego ve cómo se puede generalizar.

4. Si necesitas probar igualdades (x=y), prueba x<=y, luego y<=x.

5. Una vez que se haya demostrado el teorema. Revisa los pasos y ve si se puede hacer alguna simplificación. Comprueba también los errores, prestando atención especial a los signos y errores aritméticos. Asegúrate de que cada operación esté justificada/legal.

6. Lee otras demostraciones y aprende qué nivel de detalle se espera (las demostraciones en artículos/libros pueden omitir muchos más detalles de lo que se espera en clase, pero hay un poco de subjetividad en determinar si entendiste cómo pasar de un paso a otro cuando se omiten detalles).

Answer 2

Hay un montón de sugerencias geniales aquí, especialmente trabajar con otras personas. Pero aquí hay algo que hice durante casi toda la universidad, que es un poco extremo pero realmente ayuda con estas habilidades. Resolvía problemas de tarea en una pizarra, y cuando resolvía un problema lo miraba hasta que pensaba que lo entendía completamente, y luego lo borraba de la pizarra. Luego, al día siguiente escribía la solución. Si mi solución era un desastre total, no había manera de que la recordara a la mañana siguiente, pero si entendía las ideas entonces generalmente era bastante fácil reconstruir el argumento.

Answer 3

Aquí hay algunos pensamientos.

Lógica / Claridad. Escucho mucho acerca de esta percepción de que las demostraciones requieren matemáticas hiperespecializadas para escribir e interpretar. Si bien existen algunas convenciones especiales sobre cómo se utilizan las palabras en matemáticas que son diferentes a las de fuera de las matemáticas (además de los términos matemáticos en sí mismos que tienen definiciones técnicas), mi experiencia es que más a menudo los problemas surgen de fallar ya sea en entender la lógica pura o en simplemente ser claro de formas normales en inglés.

Por lógica me refiero a proposiciones usando términos y frases como "para todo", "existe", "implica", "si y solo si", "si / entonces", "y", "o", etc. y las formas en que tales proposiciones pueden ser creadas, combinadas, descompuestas, reformadas y conectadas entre sí de manera válida (preservación de la verdad). Si se te pide demostrar que X implica Y, y comienzas tu demostración asumiendo que Y es verdadero, simplemente no estás siendo lógico, y eso puede no tener nada que ver con tu entendimiento de X e Y en sí mismos.

Hay errores en la exposición y comunicación que veo en las demostraciones que en realidad no son matemáticos sino lingüísticos, y al reemplazar los términos matemáticos con términos cotidianos análogos (si es posible) podemos ver cómo básicamente se traducen a un inglés incorrecto, ¡incluso por hablantes de inglés nativos que creen que comprenden todos los términos matemáticos que están utilizando! A veces el problema es simplemente no comunicar lo suficiente: si tienes un montón de símbolos moviéndose alrededor, puedes explicar a un lado lo que está sucediendo con los símbolos. Si estás usando ciertos teoremas del texto o de la clase o utilizando el resultado de un resultado anterior en una tarea, o lo que sea, asegúrate de ser explícito al respecto.

Panorama general / Pequeños detalles. Las demostraciones implican muchos pequeños detalles. Si usas muy pocos, las personas tendrán que completar demasiados espacios en blanco. Si usas demasiados, a menos que los integres en capas, las personas se atascarán y les resultará difícil seguirte. Es bueno organizar tu demostración, a menudo de formas explícitas y visuales, para que los elementos del panorama general destaquen más y sea fácil navegar con el ojo desnudo, con detalles luego adjuntos.

Una buena forma de hacerlo es dividir la demostración en partes individuales, o señales. Puedes resumir de antemano lo que va a suceder en tu demostración citando las señales principales (a menudo en trabajos, llamamos a estos lemas), o puedes concluir una demostración con tal resumen. Cuando la mayoría de los matemáticos leen trabajos, revisan rápidamente e identifican primero las ideas del "panorama general", y luego revisan los detalles en segundo lugar.

En texto escrito personalmente hago un uso intensivo del texto grande vs. pequeño, subrayado/negrita/recuadro, justificación a la izquierda/derecha/centro, flechas entre cosas, etc.

Historia y significado. Las buenas demostraciones cuentan historias, donde muchas cantidades, expresiones y operaciones pueden interpretarse con algún tipo de significado. A menudo las demostraciones elegirán definir o elegir cosas inesperadas, y seguirán todo tipo de direcciones, y lo que hace esto manejable como lector es cuando se te cuenta el proceso de pensamiento detrás de las decisiones, y se te dan descripciones de qué son las cosas o qué estamos haciendo, hablando "moralmente".

(A medida que practiques esto, construirás modelos mentales de cosas en matemáticas y que no es fácil encontrar en los libros de texto o en muchas conferencias. Creo que esta es una ventaja psicológica no mencionada que muchos matemáticos desarrollan, que desalienta a los forasteros que no buscan más allá de llamarlo inalcanzable, genio insondable.)

Aplicar la teoría de la mente. Hay muchos experimentos en psicología del desarrollo que investigan cómo los niños desarrollan una "teoría de la mente", o una habilidad para concebir que las mentes de los demás tienen sus propias creencias, intenciones, percepciones, etc. Los adultos neurotípicos no cometen el mismo tipo de errores de teoría de la mente que cometemos en la infancia, pero todos tenemos lapsus, y es una lucha constante superar esto en cualquier forma de escritura, y la escritura de demostraciones no es diferente.

Considera cómo se verá tu demostración para alguien que no ha estado pensando en todos los pensamientos que has estado teniendo antes de escribirlo. Si comienzas a usar una nueva letra de la nada, ¿qué pensarán? Estarán confundidos. A veces creamos puntos ciegos en nuestra escritura que pasamos por alto conscientemente, por lo que puede ser bueno dejar las demostraciones a un lado y regresar a ellas más tarde.

Las demostraciones escritas por matemáticos para matemáticos se escriben y leen de manera diferente a las demostraciones escritas por estudiantes para calificadores. ¿Qué crees que pasa por la mente de alguien al calificar una demostración? Probablemente tengan su propia comprensión de las ideas clave y buscarán de forma rápida esos puntos. Cada vez que razonas que algo sigue a partir de otra cosa, el calificador se preguntará a sí mismo, "¿es posible que alguien tenga la idea equivocada XYZ y aún así escriba lo que veo ante mí?" y aunque no hayas tenido conceptos erróneos durante la escritura, la respuesta a esa pregunta puede sorprenderte. Evita decir cosas que podrían interpretarse de otras formas. (A veces las demostraciones que leo transmiten la sensación de una obfuscación deliberada para ocultar deficiencias. Si es así, no culpo necesariamente a los estudiantes por la estrategia, pero me hace estar en guardia.)

Answer 4

He estado en tu caso, y lo superé desde que empecé a admitir que hay algunas pruebas que no son naturales (¡especialmente en la Teoría de la Medida)! Sé que algunos teoremas pueden demostrarse solo con las definiciones, pero algunos teoremas necesitan una técnica especial para demostrarlos.

Un consejo simple es que intentes pensar en "qué necesitas para hacer las pruebas" y "qué tienes". Por ejemplo: $\lbrace x_n \rbrace_{n\in \mathbb{N}}$ es una secuencia en $\mathbb{R}$. Demuestra que $\inf x_n = -\sup (-x_n)$.

Entonces, al principio, no puedo demostrar la igualdad directamente. Así que elijo otra que es un poco más larga, pero más fácil de hacer.

Demuestro que $\inf x_n \leq -\sup (-x_n)$ y $\inf x_n \geq -\sup (-x_n)$.

Así que primero, necesito mirar las definiciones de $\inf$ y $\sup$. Primero, dado que $\inf$ es la cota inferior más grande, entonces $x_n \geq \inf x_n \Leftrightarrow -x_n \leq -\inf x_n $. Dado que $\sup$ es la cota superior más baja, entonces $\sup(-x_n) \leq -\inf x_n $. Por lo tanto, $\inf x_n \leq -\sup (-x_n)$. ¿Puedes probar el otro? :)

Hay algunos consejos simples pero útiles:

Si quieres demostrar que $a = b$, entonces puedes intentar demostrar que $a \leq b$ y $a \geq b$.

Si quieres demostrar que el conjunto $A = B$, entonces puedes intentar probar que $A \subseteq B$ y $B \subseteq A$. Para probar que $A \subseteq B$, podemos asumir $x \in A$ arbitrario y probar que $x $ también está en $B$.

Si quieres demostrar que dos funciones $f = g$, puedes asumir $x \in A$ arbitrario y probar que $f(x) =g(x)$.

Por supuesto, hay más consejos, pero esos son útiles.

Y recuerda que no hay vergüenza en buscar la respuesta a las demostraciones. Lo importante es que entiendas la idea clave y puedas intentar demostrarla por ti mismo.

Las cosas llevan tiempo. ¡Buena suerte!

Answer 5

Esta respuesta es improvisada y algo caótica. Definitivamente puedo entender tus luchas al escribir demostraciones. Casi todas las preguntas en este sitio están completamente fuera de mi alcance, e incluso las que intento responder a veces resultan en un voto negativo o un comentario que dice, "estás utilizando tal teorema de manera incorrecta", o algo por el estilo. Mis mejores respuestas vienen de años de experiencia en integración y de encontrar una forma de combinar las demostraciones con ellas, ¡aunque aún hoy en día sigo luchando con la integración!

Básicamente, las demostraciones son realmente, realmente difíciles para todos. Se supone que deben ser así.

(Historia Adicional) En la primavera de 2019, cuando tenía 19 años, tomé mi primera clase de demostraciones matemáticas. El material era completamente diferente de lo que inicialmente esperaba, ya que había utilizado métodos computacionales, como evaluar determinantes, aplicar multiplicadores de Lagrange para restricciones, etc. Era extremadamente bueno en ese lado de las matemáticas y estaba incluso entre los primeros 3 de mis clases universitarias. Pero cuando mi tarea se trataba de algo como, "Demostrar que si $a ≡ b \pmod{n}$, entonces $a^2 ≡ ab \pmod{n}$, donde $a, b ∈ Z$ y $n ∈ N$", la primera oración que escribiría sería "Supongamos que $a^2 ≡ ab \pmod{n}$, como a y b son Z y n es N" o algo así. Mi profesor criticaba cada pequeño detalle, al igual que tu profesor. Siempre me sorprendía cuando obtenía un $0$ de $5$ en cada demostración que escribía y me preguntaba, "¡Estoy mostrando mucho trabajo, por qué no entiendo esto?". No quería simplemente rendirme, así que seguí intentándolo y pidiendo ayuda a mis amigos, quienes me ayudaron enormemente. Dado que entendían mejor el material que yo, copiaba su estilo de escritura e incluso copiaba su demostración (lo cual es hacer trampa, no lo hagas) solo para pasar. Desafortunadamente, saqué una F en la clase (creo que tuve un 55% o algo así) y me vi obligado a repetirla. Pensé en cambiar mi especialidad a algún tipo de ingeniería, ya que ese campo es más de matemáticas aplicadas y físicas, en las cuales era bueno, pero no quería simplemente rendirme y quería ser una de las pocas personas que podían graduarse con una de las especialidades más difíciles de mi universidad, así que repetí la clase. Al siguiente semestre, me encontré avanzando fácilmente en las tareas y terminé haciendo bien en la clase.

(i) Puede sonar cursi, pero tener amigos ayuda bastante. De hecho, no creo que hubiera podido graduarme con una especialidad en matemáticas si no estuviera constantemente enviando mensajes de texto a mis amigos, "¿Cómo hiciste esta demostración? Porque obtuve tal cosa pero ¿cómo podemos suponer tal cosa?" También me ayudó mucho enviar correos electrónicos a mis profesores. Solía enviarles constantemente correos electrónicos a mis profesores de análisis real (hasta el punto del fastidio), diciendo algo como "Hola Dr. tal, soy Cody de tu clase de las 12:00 p.m. Estoy teniendo problemas con esta demostración de Integrabilidad de Riemann. Al principio yo ..." y procedía a compartir una página entera de trabajo. Siempre mostraba todo lo que intentaba para demostrarle a mi profesor que soy parte del proceso de aprendizaje, convenciéndolo de que me diera algunas pistas hasta que escribiera una solución perfecta, con un formato agradable, gramática, etc. Lo mismo ocurre con asistir siempre a sus horas de oficina.

(ii) Obviamente debes saber que la práctica hace al maestro, sin importar quién seas. La mejor manera de ser bueno en demostraciones es ensuciarte las manos y comenzar a practicar de inmediato. Si no sabes por dónde empezar, simplemente comienza a escribir algo. Un borrador incompleto e incorrecto es mejor que no tener nada en absoluto.

(Respuesta) Parece que tu mayor problema es tener miedo y ansiedad de escribir una demostración porque tu profesor criticaría cada pequeño detalle. Tienes que superar ese miedo. Supéralo enfrentando las demostraciones de frente. No deberías tener miedo de comenzar a escribir las ideas que tienes para probar algo. Si una persona tiene miedo de levantar pesas, ¿cómo va a aumentar su masa muscular? Si una persona tiene miedo a las alturas y quiere superarlas, tiene que empujarse a sí misma mirando hacia abajo desde una gran altura y experimentando la sensación de caída, algo que hacen los paracaidistas. Entiende que tu profesor está calificando rigurosamente por una razón, y es para prepararte a ti y a toda la clase para las clases de matemáticas más difíciles como análisis real/complex, teoría de números, álgebra abstracta, teoría de grafos, etc. La clase de demostraciones que estás tomando es absolutamente nada comparado con la intensidad de las clases de nivel superior. Toma en serio este consejo. Aprendí este consejo de la manera difícil y seguí enfrentando mis clases de matemáticas difíciles de frente. Incluso después de fallar una y otra vez, me gradué en diciembre pasado. Y ahora, estoy esperando para ver si dos de mis soluciones a problemas del American Mathematical Monthly son correctas. Si lo son, entonces sería la primera persona de mi universidad en resolver un problema del AMM, ya que ni siquiera los profesores pudieron resolverlos (bueno, tal vez pudieron si le dedicaran mucho tiempo, pero me desvío). Incluso tengo otra solución en mente para un problema diferente del AMM (que he estado posponiendo debido al trabajo y a las citas médicas).

Me molesta presumir sobre esa última parte, pero es relevante para mi experiencia de fallar constantemente en matemáticas y cómo pude levantarme. Lo mismo puede aplicarse a ti también.

Aquí tienes un libro de texto que me ayudó a tener éxito en mi clase de demostraciones. Recomiendo encarecidamente leerlo en tu tiempo libre. Es bastante fácil de leer y está escrito desde la perspectiva de un estudiante que lucha.