¿Por qué es importante que un conjunto tenga una base contable?

Question

Me gustaría entender la razón por la cual pedimos, en la definición de una variedad, la existencia de una base numerable.

¿Alguien tiene un ejemplo de lo que puede salir mal con una base no numerable? ¿Cuándo surge el problema? ¿Surge cuando queremos diferenciar algo o surge antes?

Gracias

Answer 1

Hay un punto que se menciona de pasada en la respuesta de Moishe Cohen que merece un poco de elaboración, que es que muchas veces no es importante que una variedad tenga una base numerable. Más bien, lo importante en la mayoría de las aplicaciones es que una variedad sea paracompacta: esto es lo que te da particiones de la unidad, que son esenciales para una gran cantidad de la teoría de variedades (por ejemplo, como mencionó la otra respuesta, demostrando que cualquier variedad admite una métrica de Riemann).

La paracompacidad se deduce de la segunda numerabilidad, que es la razón principal por la que la segunda numerabilidad es útil. La paracompacidad es más débil que la segunda numerabilidad (por ejemplo, un espacio discreto no numerable es paracompacto), pero resulta que no es mucho más débil: una variedad (Hausdorff) es paracompacta si y solo si cada uno de sus componentes conexas es de segunda numerabilidad. En otras palabras, una variedad paracompacta general es solo una unión disjunta de (posiblemente un número no numerable) variedades de segunda numerabilidad. Entonces, si te preocupas principalmente por las variedades conexas (o incluso solo por variedades con un número numerable de componentes conexas), no pierdes generalidad importante al asumir la segunda numerabilidad en lugar de la paracompacidad.

También hay algunas situaciones donde realmente es conveniente asumir la segunda numerabilidad y no solo la paracompacidad. Por ejemplo, en la teoría de los grupos de Lie, es conveniente poder definir un subgrupo de Lie (que no necesariamente sea cerrado) de un grupo de Lie $G$ como un grupo de Lie $H$ junto con un homomorfismo inyectivo suave $H\to G$. Si permitieras que tus grupos de Lie no fueran de segunda numerabilidad, tendrías el ejemplo incómodo e indeseado de que $\mathbb{R}$ como un espacio discreto es un subgrupo de Lie de $\mathbb{R}$ con la estructura suave usual de $1$ dimensión (a través del mapa identidad). Por ejemplo, este ejemplo viola el teorema (verdadero si requieres segunda numerabilidad) de que un subgrupo cuya imagen es cerrada es en realidad una subvariedad embebida.

Answer 2

¿Te gusta tener una partición de la unidad? (Por ejemplo, para integrar formas diferenciales). ¿Te gusta que tus variedades se incrusten en algún ${\mathbb R}^N$? ¿Admiten una métrica riemanniana? ¿Te gusta que tus superficies orientables admitan una estructura compleja? (Si eres un geómetra o un analista, seguramente sí). ¿Te gusta tener el teorema de la invarianza de dominio? ¿Te gusta poder clasificar superficies no compactas aquí? (Una clasificación de variedades 1-dimensionales conectadas que no cumplen con el segundo axioma de numerabilidad es posible, ver aquí). Todo esto requiere 2ª numerabilidad, típicamente en forma de paracompacidad.

Edit:

1. Supongamos que $(M,g)$ es una variedad riemanniana hausdorff conectada (sin asumir 2ª numerabilidad). Entonces $M$ es 2ª numerable.

Prueba. Basta con demostrar que $M$ es metrizable, ver por ejemplo la referencia de Spivak en esta pregunta. Para demostrar que $M$ es metrizable, definimos la función de distancia riemanniana en $M$ como de costumbre: $$ d(p,q)=\inf_c L(c), $$ donde $L(c)$ es la longitud del camino $c$ y el ínfimo se toma sobre todos los caminos de longitud suave a trozos $c$ conectando $p$ con $q$. (Para ver que tal camino existe repite la demostración del hecho de que una variedad conectada es necesariamente conexa por caminos).

2. Las superficies Riemann conectadas son necesariamente 2ª numerables, como lo demostró Rado. Como dato curioso: Hay variedades complejas conectadas que no son 2ª numerables, ver aquí. Puedes encontrar una prueba del teorema de Rado en la sección 2.11 del libro

T. Napier, M.Ramachandran, "Introducción a las superficies de Riemann", Birkhauser, 2012.