¿Cómo intentaste obtener $m$? Primero ordenaste a los chicos: $5!$ formas. Luego seleccionaste a las cuatro chicas $\binom{5}{4}=5$, las ordenaste ($4!$ formas), luego las colocaste entre los chicos ($6$ formas), luego colocaste a la quinta chica entre los chicos.... supuestamente dijiste $7$ formas, cinco lugares donde no están las otras chicas, luego ya sea primero o último si las pones con las otras chicas? Y luego tomaste esto $5!5(4!)(6)(7) = 5!7!$ y restaste los casos en los que todas las chicas están juntas...
Pero tu proceso cuenta erróneamente $m$: considera el caso en el que alineas a las chicas $1$ a través de $5$ primero, luego a los chicos $1$ a través de $5$. Contaste esto dos veces:
- Una vez cuando omitiste a la chica $1$, y luego decidiste ponerla antes que el resto de las chicas; y
- Una vez cuando omitiste a la chica $5$, y luego decidiste ponerla después del resto de las chicas.
Así es donde yace el error en tu cálculo. Tu $m$ es muy grande.
El doble conteo ocurre cada vez que todas las chicas están juntas. Así que en realidad necesitas restar $n$ dos veces, no solo una vez. Entonces obtendrías $$5!7!-2(5!6!) = 5!6!(7-2) = 5!6!5.$$
Si no quieres preocuparte por el doble conteo, puedes hacer esto:
Ordena a los cinco chicos: $5!$ formas. Ahora ordena a las cinco chicas: $5!$. Ahora selecciona dónde están las chicas: hay seis ubicaciones: primero, después del primer chico, después del segundo chico, y así sucesivamente hasta que estén después del quinto chico.
Entonces $n = 5!5!6$, (igual que afirmas, así que esa parte está correcta).
Ahora, para $m$; $5!$ formas de ordenar a los chicos; $5$ formas de selección de la chica solitaria, y $6$ lugares donde ponerla. $4!$ formas de ordenar a las chicas restantes, y $5$ lugares restantes donde ponerlas (no se pueden colocar junto a la chica solitaria). Entonces $m=(5!)5(6)(4!)5 = 5!5!(6)(5)$ (igual que obtuvimos antes).
Entonces $$\frac{m}{n}=\frac{5!5!(6)(5)}{5!5!6} = 5.$$
