En una cierta pregunta se me ha pedido que diga si es cierto que dado una superficie $S$, si un punto $p$ es umbilical, entonces bajo una isometría $f$ con otra superficie $S'$ el punto transformado $f(p) \in S'$ también es umbilical.
Tengo la sensación de que es cierto. Lo que intenté es lo siguiente: dado que $p$ es umbilical, la curvatura gaussiana muestra que para cualquier dirección $w$, $I = \lambda II$, donde $II, I$ son las segundas y primeras formas fundamentales, respectivamente, lo cual significa que para cada dirección ambas formas fundamentales permanecen proporcionales con una constante $\lambda$. Una isometría conserva la curvatura gaussiana y la primera forma fundamental, por lo que el determinante de $II$ se conserva, no $II$ en sí. Necesitaría mostrar que los autovalores del operador de forma $-I^{-1} \cdot f(II)$ (abuso de notación, quería decir la segunda forma fundamental bajo la isometría) son los mismos que los originales (solo hay uno porque es un punto umbilical). No sé cómo continuar. Agradecería si alguien me pudiera dar una pista o decirme si es falso.
Además, como un offtopic relacionado con otra pregunta (prometo que esto es más simple), ¿significa que la segunda forma fundamental igual a cero para una curva (lo que significa que es una curva asintótica) en una superficie implica que la curva es plana? Supongo que es cierto ya que significa que el operador de forma es cero, lo que implica que el vector normal a la superficie es constante para esa curva.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esto significaría que un punto siendo umbílico es una propiedad intrínseca y esto no es cierto. De hecho, el ejemplo estándar de superficies isométricas y una parte abierta de un cilindro y una parte abierta de un plano proporciona un contraejemplo ya que en el plano todos los puntos son umbílicos mientras que el cilindro no tiene puntos umbílicos.
