Generando números $q$-Catalan

Question

Un trayecto n-Dyck (o un trayecto catalán) es un camino reticular $P$, con pasos unitarios hacia el Este y el Norte, en una cuadrícula cuadrada de $n\times n$ que permanece (débilmente) por encima de la diagonal principal. Sea $\square_n$ el conjunto de todos esos caminos. Define el área de un camino $P$ como el número de cuadrados completos por debajo del camino y por encima de la diagonal. Entonces una variante de un número $q$-Catalán está en la forma $$C_n(q)=\sum_{P\in\square_n}q^{area(P)}.$$ Algunos ejemplos: $C_1(q)=1,\, C_2(q)=1+q,\, C_3(q)=1+2q+q^2+q^3$.

Existe esta noción de números $q,t$-Catalán de modo que $C_n(q)=C_n(q,1)$.

Estoy encontrando (después de algunos experimentos) la siguiente función generatriz que no he encontrado en la literatura.

Pregunta. ¿Se conoce esto o puedes proporcionar una demostración? $$\sum_{n=0}^{\infty}C_n(q)\,z^n =\frac{\sum_{k=0}^{\infty}q^{k^2}\prod_{j=1}^k\frac{z}{q^j-1}} {{\sum_{k=0}^{\infty}q^{k(k-1)}\prod_{j=1}^k\frac{z}{q^j-1}}}$$

Answer 1

Las funciones $$ C_n(q)=\sum_{P\in\square_n}q^{area(P)} $$ satisfacen la siguiente relación de recurrencia $$ C_n(q)=\sum_{k=1}^nq^{k-1}C_{k-1}(q)C_{n-k}(q).\tag{1} $$ Prueba. (tomado del libro "Los números q, t-Catalan y el espacio de armónicos diagonales" de J. Haglund, página 14, error tipográfico corregido)

Descomponemos nuestro camino $P$ de acuerdo al "punto de primer retorno" a la línea y = x. Si esto ocurre en (k, k), entonces el área de la parte de $P$ desde (0, 1) hasta (k − 1, k), cuando se ve como un elemento de $\square_{k-1}$, es $k − 1$ menos que el área de esta porción de $P$ cuando se ve como un camino en $\square_{n}$.$\qquad\qquad\qquad~\Box$

La función generadora $$ G(z,q)=\sum_{n=0}^\infty C_n(q)z^n $$ satisface la ecuación funcional, que es una consecuencia directa de $(1)$: $$ G(z,q)-1=zG(z,q)G(qz,q). $$ La reescribimos por conveniencia como $$ \frac{1}{G(z,q)}=1-zG(qz,q).\tag{2} $$ Se sabe que la fracción continua generalizada Rogers-Ramanujan, fórmula (39), $$ F(a,q)=\frac{\sum_{k=0}^\infty\frac{(-a)^kq^{k^2}}{(q;q)_k}}{\sum_{k=0}^\infty\frac{(-a)^kq^{k^2+k}}{(q;q)_k}}=1-\cfrac{aq}{1-\cfrac{aq^2}{1-\cfrac{aq^3}{1-...}}}, $$ satisface la ecuación funcional $$ F(a,q)=1-\frac{aq}{F(aq,q)}.\tag{3} $$ Dado que $G(0,q)=F(0,q)=1$ es claro al comparar $(2)$ y $(3)$ que $$ \frac{1}{G(z,q)}=F(z/q,q)=\frac{\sum_{k=0}^\infty\frac{(-z)^kq^{k^2-k}}{(q;q)_k}}{\sum_{k=0}^\infty\frac{(-z)^kq^{k^2}}{(q;q)_k}}, $$ como se requiere.