La compatibilidad de la secuencia de Gysin con las estructuras mixtas de Hodge

Question

Sea $X$ una variedad compleja compacta de dimensión $n$ y $D$ una subvariedad suave de codimensión $1$. También sea $U:= X\setminus D$ y $j$ la inclusión de $U$ en $X. Entonces es bien sabido que la siguiente secuencia (exacta y larga) respeta las estructuras mixtas de Hodge:

$$ \cdots\to H^{k-2}(D)(-1)\stackrel{\gamma_k}{\to}H^k(X)\stackrel{j^*}{\to}H^k(U)\stackrel{\text{Res}}{\to}H^{k-1}(D)(-1)\to\cdots.$$

Aquí $\gamma_k$ es el mapa de Gysin obtenido como el dual de Poincaré de $H^{2n-k}(X)\to H^{2n-k}(D)$. Y $\text{Res}$ es el mapa de residuos que elimina un factor de tipo $\frac{dz}{z}$ de una forma.

Mi pregunta: ¿Dónde se necesita la compacidad de la variedad $X$? Si uno trabajara con $X$ no compacta, ¿la secuencia anterior respetaría la estructura mixta de Hodge?

Answer 1

Sí, también está bien si $X$ no es compacto. Más en general, para cualquier variedad $X$ y subvariedad $Z$ se tiene una sucesión exacta larga $$ \ldots \to H^k_c(X \setminus Z) \to H^k_c(X) \to H^k_c(Z) \to H^{k+1}_c(X \setminus Z) \to \ldots $$ de estructuras mixtas de Hodge, que da lugar a tu sucesión exacta larga por dualidad de Poincaré cuando $X$ es suave y $Z$ un divisor suave.