Ayuda para encontrar el determinante de una matriz de 4x4?

Question

Lo siento por la falta de la notación, pero el trabajo debe ser fácil de seguir si usted sabe lo que está haciendo. Bueno mi problema es que el libro dice que se puede hacer mediante la expansión a través de cualquier columna o fila, pero la única manera de conseguir lo hace el libro en su práctica ejemplo es elegir la fila en la que se eligió. Esto me molesta. Como yo debería ser capaz de hacer lo que me parezca. Voy a publicar mi trabajo y alguien que señalan el problema en mi trabajo. La matriz es la siguiente:

$$A = \left( \begin{matrix} 5&-7&2&2\\ 0&3&0&-4\\ -5&-8&0&3\\ 0&5&0&-6\\ \end{de la matriz} \right) $$

He decidido expandirse a través de la fila uno y cruz columnas como he encontrado a menores de edad. Para el primer menor de edad la obtención de: $$ \begin{pmatrix} 3 & 0 & -4 \\ -8 & 0 & 3 \\ 5 & 0 & -6 \\ \end{pmatrix} $$

M1 siendo fila de una columna de una alcanzamos $-1^2 = 1$. Esto es para ser multiplicado por el determinante de la menor. Ahora encontrar el determinante hice:

3 veces $$ \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & -6 \\ \end{pmatrix} $$ dando a $3(0-0)= 0$ entonces:

Los tiempos 0 $$ \begin{pmatrix} -8 & 3\\ 5 & -6\\ \end{pmatrix} $$

dar a 0(48-15)=0

Entonces: 4 veces $$ \begin{pmatrix} -8 & 0 \\ 5 & 0 \\ \end{pmatrix} $$ dando a $4(0-0)=0$ la adición de los factores determinantes llegamos $0+0+0=0$ De modo que det M1 $= 0(1) = 0$

M2--> M(1,2)---> $-1^1+2= -1^3 = -1$

$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & -4 \\ -5 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -6 \\ \end{pmatrix} $$

o* $$ \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & -6 \\ \end{pmatrix} $$ dando a $0(0-0)=0$

obviamente, la siguiente matriz se verá el mismo que el de arriba término en la columna dos es cero, por lo que el factor determinante para que se $0$. Ahora, por último,

4 veces $$ \begin{pmatrix} -8 & 0 \\ 5 & 0 \\ \end{pmatrix} $$ dar 4(0-0)= 0

Por lo que el factor Determinante de la Menor de las 2 es (0+0+0)(-1)= 0 Ahora en Menor número 3

M3 --> $-1^4 = 1$

$$ \begin{pmatrix} 0 & 3 & -4 \\ -5 & -8 & 3 \\ 0 & 5 & -6 \\ \end{pmatrix} $$

para el determinante:

0 veces $$ \begin{pmatrix} -8 & 3 \\ 5 & -6 \\ \end{pmatrix} $$ que da $0(48-15)=0$

-3 veces $$ \begin{pmatrix} -5& 3 \\ 0 & -6 \\ \end{pmatrix} $$

que da $-3(30-0)= -90$

es redundante a ir de aquí porque después de la final de cálculo de este menor de edad puedo obtener -100 y como resultado obtener det M3 = -190 y obtener el determinante de ceros para el siguiente determinante de la M4. lo que da: $0(5)+ 0(-7) + (-90)(2) + (0)(2)$ dando Det Ax $= -380.$ El libro dice que su $20$ y cuando lo hice en una calculadora que tengo 20 pero el problema es que tanto el libro como la calculadora de expandirse a través de la fila con la mayoría de los ceros, pero, teóricamente hablando, NO IMPORTA QUE la fila o columna que usted elija para expandirse a través de usted debe obtener la misma respuesta. Entonces, ¿qué es? Es mi computación mal o es mi suposición de que se puede expandir a través de cualquier fila o columna de malo? ¿No es importante sólo si el determinante no sea igual a cero? ¿o es que el valor exacto de la materia en los casos más avanzados?

Answer 1

Aquí es cómo usted debe escribirlo en la práctica. $$ A = \begin{pmatrix} 5 & -7 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & -4 \\ -5 & -8 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & 0 & -6 \\ \end{pmatrix} $$ así que $$ \det a = \begin{vmatrix} 5 & -7 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & -4 \\ -5 & -8 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & 0 & -6 \\ \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 3 & -4 \\ -5 & -8 & 3 \\ 0 & 5 & -6 \\ \end{vmatrix} = 2 \cdot -(-5) \cdot \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 5 & -6 \\ \end{vmatrix} = 2 \cdot -(-5) \cdot (-18 -(-20)) = 20. $$ He ampliado a lo largo de la tercera columna en el primer caso y, a continuación, a lo largo de la primera columna, debido a que estos son los que cuentan con más ceros, por lo que ahorra una gran cantidad de cálculos. Estoy asumiendo que es lo que está en su libro.

Si desea ampliar a lo largo de otras columnas, realizar un seguimiento apropiado de los menores de edad sin necesidad de hacer ningún cálculo de errores (supongo que esa es la parte difícil ; el único truco es hacerlo lentamente y con cuidado). Así que aquí vamos : $$ \det a = \begin{vmatrix} 5 & -7 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & -4 \\ -5 & -8 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & 0 & -6 \\ \end{vmatrix} = 5 \begin{vmatrix} 3 & 0 & -4 \\ -8 & 0 & 3 \\ 5 & 0 & -6 \\ \end{vmatrix} -(-7) \begin{vmatrix} 0 & 0 & -4 \\ -5 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -6 \\ \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 0 & 3 & -4 \\ -5 & -8 & 3 \\ 0 & 5 & -6 \\ \end{vmatrix} -2 \begin{vmatrix} 0 & 3 & 0 \\ -5 & -8 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ \end{vmatrix}. $$ No sé cómo se define el determinante, pero en cualquier definición que usted eligió es obvio que el determinante de una matriz con una columna de ceros es igual a cero. (Si no está claro para usted, no dude en decirme su definición y voy felizmente respuesta en los comentarios.) Así que el único no-cero término de esta suma es $$ 2 \begin{vmatrix} 0 & 3 & -4 \\ -5 & -8 & 3 \\ 0 & 5 & -6 \\ \end{vmatrix}. $$ Tenga en cuenta que este es el mismo determinante como cuando me expandido a lo largo de la tercera columna. Así que usted puede terminar este cálculo mirando lo que hice antes.

Un truco útil para recordar los síntomas en la expansión de Laplace (que es el nombre de el truco de la expansión a lo largo de una fila o una columna) es la siguiente matriz : $$ \begin{vmatrix} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{vmatrix} $$ Funciona para cualquier determinante tamaño, sólo asegúrese de que las coordenadas de la matriz en la parte superior izquierda es un $+$ signo.

Espero que ayude,

Answer 2

Para el M3 es $-90+100$ en lugar de $-90-100$ da $10 \times 2=20$ como la respuesta final

Answer 3

Steve explica de dónde has cometido un error en sus cálculos. Y Patrick se explica cómo se puede ahorrar cálculos por la juiciosa elección de las filas/ columnas que se expanden a lo largo. Sólo por diversión, voy a explicar una forma diferente de evaluar el determinante. Yo sólo voy a usar la relación entre la escuela elemental de fila/ columna de operaciones y el determinante.

Aquí están esas relaciones:

1. Intercambio de dos filas o columnas de una matriz dará un factor de $-1$ para el factor determinante. Deje $a_k$ $k$th fila (o columna) de la matriz $A$. A continuación, $$\det(A) = \det(a_1,\dots, a_i, \dots, a_j, \dots, a_n) = -\det(a_1,\dots, a_j, \dots, a_i, \dots, a_n)$$
2. Un factor común que puede ser "sacados" de una fila/ columna. $$\det(a_1,\dots,ka_i,\dots,a_n) = k\det(a_1,\dots,a_i,\dots,a_n)$$
3. La adición de un escalar muliple de una fila/ columna a otra no va a cambiar el factor determinante en todo. $$\det(a_1,\dots, a_i, \dots, a_j, \dots, a_n) = \det(a_1,\dots, a_i, \dots, a_j+ka_i, \dots, a_n)$$

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Vamos a utilizar estas propiedades de los determinantes para calcular el determinante de la matriz:

$$\begin{align}\begin{vmatrix} 5&-7&2&2\\ 0&3&0&-4\\ -5&-8&0&3\\ 0&5&0&-6\\ \end{vmatrix} &= \enspace\ \frac 12\begin{vmatrix} 5 & -7 & 2 & 2 \\ 0 & 6 & 0 & -8 \\ 0 & -15 & 2 & 5 \\ 0 & -1 & 0 & 2\end{vmatrix} &{\begin{pmatrix}R_2 \to 2R_2 \\ R_3 \to R_3+R_1 \\ R_4 \to R_4-R_2\end{pmatrix}} \\ &= -\frac 12\begin{vmatrix} 5 & -7 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & -15 & 2 & 5 \\ 0 & 6 & 0 & -8\end{vmatrix} & \begin{pmatrix}R_2 \leftrightarrow R_4\end{pmatrix} \\ &= -\frac 12\begin{vmatrix} 5 & -7 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & -25 \\ 0 & 0 & 0 & 4\end{vmatrix} & \begin{pmatrix}R_3\to R_3-15R_2 \\ R_4\to R_4+6R_2\end{pmatrix} \\ &\stackrel{(*)}= -\frac 12(5)(-1)(2)(4) \\ &= \enspace\ 20\end{align}$$

donde $(*)$ es debido al hecho de que el determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal.

Answer 4

Si nos fijamos en donde el $0$'s son en su matriz, es bastante fácil ver que su matriz se convierte en bloque triangular cuando se transformó para (por ejemplo) de la orden de bases $[e_1,e_3,e_2,e_4]$, en otras palabras, el estándar de base, pero con el segundo y tercer vectores de expresión. El cambio de base de swaps de la segunda y tercera filas y la segunda y tercera columnas, y le da $$A'= \pmatrix{5&2&-7&2\\-5&0&-8&3\\0&0&3&-4\\0&0&5&-6}. $$ Dado que el cambio de base no afecta el factor determinante, y el determinante de un bloque triangular de la matriz es el producto de los determinantes de la diagonal de bloques, se obtiene $$ \det(A)=\det(A') =\left|\matriz{5&2\\-5&0}\right|\times\left|\matriz{3&-4\\5&-6}\right| =10\times2=20. $$

Answer 5

Escribir el determinante. Junto con escribir las primeras 3 columnas"hacia Abajo de la diagonal de la multiplicación" da ( O + O + 2OO + O ). "La tendencia a la diagonal de la multiplicación" da -(O + O + O + 18O) . det = 2O.