Calcular $\|f\|$ con $f(x) = \int_{-1}^{1}x(t)dt - 2x(0)$

Question

En $C[-1,1]$, considera la norma $\|x\| = \max\{x(t)\mid t \in [-1,1]\}$ y $f(x) = \int_{-1}^{1}x(t)dt - 2x(0)$, $x \in C[-1,1]$. Encuentra $\|f\|$

Hola a todos. Me quedé atascado en este problema. Puedo demostrar que $||f|| \le 4$, pero no puedo encontrar ninguna función continua $x \in C[-1,1]$ tal que $\|f(x)\| = 4\|x\|$. ¿Alguien puede ayudarme? Gracias

Answer 1

Considere una secuencia $x_n \in C[-1,1]$ tal que

a) $x_n(t) = 1$ para todo $t\in [-1, -1/n]\cup [1/n,1]$

b) $x_n(0) = -1

c) $x_n(t)$ es la recta que une $(-1/n,1)$ y $(0,-1)$ en $[-1/n,0]$

d) $x_n(t)$ es la recta que une $(0,-1)$ y $(1/n,1)$ en $[0,1/n]$

Entonces, $\|x_n\| = 1$ para todo $n$, y $$ f(x_n) \sim 2 - \frac{2}{n} + 2 \to 4 $$ Por lo tanto, $\|f\| = 4$