Sea $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ un espacio de probabilidad finito, $\mathbb{F}=\{\mathcal{F}_{n}\}_{n=1,\ldots,N}$ una filtración, y $X=\{X_{n}\}_{n=1,\ldots,N}$ un proceso discreto en tiempo y espacio adaptado a $\mathbb{F}$.
Además, sea $\mathbb{G}=\{\mathcal{G}_{n}\}_{i=1,\ldots,N}$ una filtración con $\mathcal{G}_{n}\subset\mathcal{F}_{n}$ y $Y=\{Y_{n}\}_{n=1,\ldots,N}$ un proceso adaptado a $\mathbb{G}.
Estoy interesado en condiciones sobre $X$ y $\mathbb{G}$ que impliquen $$\tag{1}\mathbb{E}[\, F(X_{1},\ldots,X_{m},Y_{1},\ldots,Y_{m}) \;|\; \mathcal{F}_{n} \,] \;=\; \mathbb{E}[\, F(X_{1},\ldots,X_{m},Y_{1},\ldots,Y_{m}) \;|\; \mathcal{G}_{n} \,]$$ para todo $m\geq n$ y funciones $F$.
Ejemplo: sea $X$ una cadena de Markov y $\mathbb{G}$ su filtración natural. Entonces $Y_{m}$ es alguna función de $\{X_{n}\}_{n=1,\ldots,m}$ y así es $F(X_{1},\ldots,X_{m},Y_{1},\ldots,Y_{m})$. La ecuación (1) anterior se cumple debido a la propiedad de Markov de $X$.
¿Existen condiciones menos restrictivas? Por ejemplo:
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¿Qué pasa en el caso en que $\mathbb{G}$ es generado por algún proceso de Markov (no necesariamente $X$) y $X$ está adaptado a $\mathbb{G}$? ¿Sigue cumpliéndose (1)?
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Supongamos $$\mathbb{E}[\, F(X_{1},\ldots,X_{m}) \;|\; \mathcal{F}_{n} \,] \;=\; \mathbb{E}[\, F(X_{1},\ldots,X_{m}) \;|\; \mathcal{G}_{n} \,]$$ para todo $m\geq n$. ¿Se sigue inmediatamente (1)?
¡Muchas gracias por los comentarios, pistas y referencias!
