Sea $G$ un grupo definido por generadores y relaciones, digamos:
\begin{equation} G = D_{2n} = \left\langle s, r\mid s^{2} = 1, r^{n} =1, sr =r^{-1} s \right\rangle \end{equation}
Y un grupo arbitrario $H$ (con elemento unitario $e$). Sea $f$ un homomorfismo de $G$ a $H$ definido proporcionando las imágenes de $r$ y $s$ por $f$, y diciendo que para cada elemento $a, b$ de $D_{2n}$ las imágenes deben cumplir la regla de homomorfismo $f(ab) = f(a)f(b)$.
¿Es esto cierto?
$f$ es un homomorfismo si y solo si $\left\lbrace f(s)f(s) = e, f(r)^{n} =e, f(s)f(r) = f(r)^{-1} f(s)\right\rbrace$
La parte de "solo si" de la afirmación es trivial aplicando la definición de un homomorfismo a las relaciones.
Pero ¿es cierta la parte de "si"? Me parece que si se verifican todas las relaciones $\left\lbrace f(s)f(s) = e, f(r)^{n} =e, f(s)f(r) = f(r)^{-1} s)\right\rbrace$, entonces $f$ está bien definida. Si esto no es cierto, ¿podría ayudarme proporcionando un contraejemplo, tal vez con diferentes $G$, $H$ y $f$?
EDITAR
Tomando inspiración de un comentario ahora eliminado, creo que puedo expresar mejor mi pregunta. Si $f$ es una función de $\{r, s\}$ a $G$, considere un hipotético homomorfismo inducido $\tilde{f}$ de $G$ a $H$ tal que su restricción a $\{r, s\}$ dé el mismo valor que $f$. Entonces:
\begin{equation} \tilde{f} \textrm{ existe} \Leftrightarrow \left\lbrace f(s)f(s) = e, f(r)^{n} =e, f(s)f(r) = f(r)^{-1} f(s)\right\rbrace \end{equation}
Parece fácil de demostrar. Para la parte $\Rightarrow$, se puede demostrar la contraposición de que si $f$ no cumple esas condiciones, entonces no puede existir ningún homomorfismo $\tilde{f}$ ya que cualquier homomorfismo tendría que cumplirlas. Para la parte $\Leftarrow$, el homomorfismo inducido $\tilde{f}$ se puede construir a partir de las evaluaciones de $f$ en $\{r, s\}$.
¿Es cierta la equivalencia en esta nueva versión editada, para cualquier $G$?
