Triángulo distinguido inducido por una secuencia exacta corta

Question

Estoy leyendo sobre las categorías derivadas de categorías abelianas en el libro de Huybrecht Transformaciones de Fourier-Mukai en geometría algebraica. Estoy teniendo muchos problemas con uno de los ejercicios. De hecho, en este punto, estoy seguro de que el resultado es falso.

Afirmación 1 (Ejercicio 2.27 de Huybrechts): Supongamos que $0 \to A \to B \to C \to 0$ es una secuencia exacta corta en una categoría abeliana $\mathcal{A}$. Entonces al incrustar esto en la homotopía $K(\mathcal{A})$ (como complejos con soporte en el grado cero), obtenemos un triángulo distinguido $A \to B \to C \to A[1]$.

Mi pregunta es bastante similar a La secuencia exacta corta forma un triángulo exacto en la categoría derivada, pero no hay una respuesta real allí.

Basándome en respuestas y comentarios en secuencias exactas cortas de complejos y triángulos en la categoría de homotopía y especialmente en Una secuencia exacta corta que no puede ser convertida en un triángulo exacto. (Weibel 10.1.2), parece que Huybrechts ha hecho una afirmación falsa. Parece que la manera correcta de modificar esto es:

Afirmación 2: Supongamos que $0 \to A \to B \to C \to 0$ es una secuencia exacta corta en una categoría abeliana $\mathcal{A}$. Entonces al incrustar esto en la categoría derivada $D(\mathcal{A})$ (como complejos con soporte en el grado cero), obtenemos un triángulo distinguido $A \to B \to C \to A[1]$.

Otra cosa que parece que la gente está implicando en los hilos que mencioné es que esto es en realidad una instancia específica de la siguiente declaración más general.

Afirmación 3: Supongamos que $0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0$ es una secuencia exacta corta en la categoría de complejos de cadenas $\operatorname{Kom}(\mathcal{A})$. Entonces al ver esto en la categoría derivada $D(\mathcal{A})$ como $A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to A^\bullet[1]$, es un triángulo distinguido.

Mis preguntas son: ¿Estoy en lo correcto al afirmar que la Afirmación 1 es falsa? ¿Estoy en lo correcto al afirmar que las Afirmaciones 2 y 3 son verdaderas? ¿Alguien puede proporcionar detalles sobre cómo probar las Afirmaciones 2 y/o 3?

Answer 1

La afirmación 1 es incorrecta: la secuencia exacta corta $0\to\mathbb{Z/2Z}\to\mathbb{Z/4Z}\to\mathbb{Z/2Z}\to 0$ no define un triángulo distinguido en la categoría de homotopía. De hecho, por definición un triángulo $A\to B\to C\to A[1]$ es distinguido si y solo si es isomorfo a un triángulo $A\to B\to\operatorname{Cono}(A\to B)\to A[1]$, pero $C=\operatorname{Cono}(\mathbb{Z/2Z\to Z/4Z})$ no es isomorfo a $\mathbb{Z/2Z}$ en la categoría de homotopía.

Para ver esto, hay que tener en cuenta que si tienes un isomorfismo $C\simeq \mathbb{Z/2Z}$ tendrá que ser representado por un morfismo de complejos $\mathbb{Z/2Z}\to C$ (esto se debe a que $Hom_K=Hom_C/\sim_{htp}$), en otras palabras, habrá un morfismo de complejos: $$\require{AMScd} \begin{CD} 0@>>>0@>>>\mathbb{Z/2Z}@>>>0\\ @.@VVV@VVV@.\\ 0@>>>\mathbb{Z/2Z}@>>>\mathbb{Z/4Z}@>>>0 \end{CD}$$

el cual es un isomorfismo en la categoría de homotopía.

Es fácil ver que solo hay dos morfismos de este tipo. Pero ninguno de ellos es una equivalencia homotópica: de hecho, ¡ni siquiera es un cuasi-isomorfismo!

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Este argumento falla en la categoría derivada porque los morfismos $\mathbb{Z/2Z}\to C$ no necesariamente provienen de un morfismo de complejos. De hecho, tenemos $$Hom_D(\mathbb{Z/2Z},C)=Hom_D(P,C)=Hom_K(P,C)=Hom_C(P,C)/\sim_{htp}$$ donde $P$ es cualquier resolución proyectiva de $\mathbb{Z/2Z}$.

Toma tu resolución favorita de $\mathbb{Z/2Z}$ (por ejemplo $P=\mathbb{Z\overset{\times 2}\to Z}$), verás que hay un cuasi-isomorfismo $P\to C$. ¡Incluso más: también hay un morfismo $P\to\mathbb{Z/2Z}[1]$ que lleva a un triángulo: $$\mathbb{Z/2Z\to Z/4Z}\to P\to\mathbb{Z/2Z}[1]$$ que es isomorfo en la categoría derivada a $\mathbb{Z/2Z\to Z/4Z}\to C\to\mathbb{Z/2Z}[1]$.

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La afirmación 2 y la afirmación 3 son ciertas pero requieren una precisión. La afirmación 2 se sigue de la afirmación 3, así que echemos un vistazo a la afirmación 3.

La afirmación correcta es la siguiente: si tienes una secuencia exacta corta de complejos $0\to A\to B\to C\to 0$, entonces existe un mapa $C\to A[1]$ en la categoría derivada tal que $A\to B\to C\to A[1]$ es un triángulo distinguido.

En particular:

• esto no es cierto para cualquier mapa $C\to A[1]$
• el mapa $C\to A[1]$ solo existe en la categoría derivada y no necesariamente a nivel de complejos (como se puede ver tomando una secuencia exacta corta de complejos concentrados en un único grado como en el ejemplo anterior).

De tu hilo vinculado (Short exact sequence makes exact triangle in derived category), sabes que hay un cuasi-isomorfismo $\varphi:\operatorname{Cono}(A\to B)\to C$.

Entonces, el mapa $C\to A[1]$ se construye así: toma el inverso de $\varphi$, es decir, $\varphi^{-1}:C\to\operatorname{Cono}(A\to B)$ y compón con $\operatorname{Cono}(A\to B)\to A[1]$.

(Sin embargo, hay que tener en cuenta que $\varphi^{-1}$ solo existe en la categoría derivada.)

Con esta construcción de $C\to A[1]$, la afirmación es ahora obvia ya que por construcción: $$\begin{CD} A@>f>> B@>i>>\operatorname{Cono}(A\to B)@>p>> A[1]\\ @|@|@V\varphi VV@|\\ A@>f>> B@>g>> C@>p\circ \varphi^{-1}>> A[1] \end{CD}$$ es conmutativo y por lo tanto es un isomorfismo de triángulos en la categoría derivada.