Mostrar que $f(2n) = f(n+1)^2 - f(n-1)^2$

Question

Sea $f(n) = f(n-1) + f(n-2)$ la secuencia de Fibonacci con $f(0)=0, f(1)=1$. Demostrar que $$f(2n) = f(n+1)^2 - f(n-1)^2.$$

He intentado varios enfoques diferentes para este problema. Tanto inductivamente desde el lado derecho como desde el izquierdo, y siempre termino yendo en círculos. ¡Cualquier ayuda sería apreciada! ¡Gracias!

Trabajando desde el lado izquierdo he obtenido: $$f(2(n+1)+1) = f(2n+1) + f(2n)$$ $$= f(2n-1) + f(2n) + f(2n)$$ $$= f(2n-1) + 2(f(n+1)^2 - f(n-1)^2)$$ Pero no puedo averiguar a dónde ir desde aquí. ¿Ayuda?

Answer 1

Vamos a demostrar que $$F_n = F_{k+1}F_{n-k} + F_k F_{n-k-1}, \; \: \forall n,k \in \mathbb{Z}$$ por inducción.

Se cumple para k=0.

Supongamos que se cumple para algún k=r>0. \begin{align*} F_n &= F_{r+1}F_{n-r}+F_rF_{n-r-1} \\ &= F_{r+1} (F_{n-r-1}+F_{n-r-2})+F_rF_{n-r-1} \\ &= (F_{r+1}+F_r)F_{n-r-1} + F_{r+1}F_{n-r-2} \\ &= F_{r+2}F_{n-(r+1)} + F_{r+1}F_{n-(r+1)-1} \end{align*} Se cumple para k=r+1. Inducción completa.

El caso en el que k es un entero negativo se deja como ejercicio (Pista: $F_{-n}=(-1)^{n-1}F_n$)

Reemplazando n por 2n+1 y k=n, tenemos $$F_{2n+1}=F_{n+1}^2 + F_n^2$$ Reemplazando n por n-1, se obtiene $$F_{2n-1}=F_n^2+F_{n-1}^2$$ Restando el caso n al caso (n-1), tenemos $$F_{2n} = F_{2n+1}-F_{2n-1}=F_{n+1}^2-F_{n-1}^2$$ Como se desea.