Verifique la convergencia de $\sum_{n=1} \frac{n+1}{n^3+4n}$

Question

Tengo que comprobar la convergencia de $\sum_{n=1} \frac{n+1}{n^3+4n}$.

$$\sum_{n=1} \frac{n+1}{n^3+4n}\le \sum_{n=1} \frac{n+1}{n^3}=\sum_{n=1} \frac{1}{n^3}+\sum_{n=1} \frac{1}{n^2}$$

(ambas series del lado derecho son claramente convergentes)

Answer 1

Encontraste una forma.

Otra manera: Notando que $$ \frac{n+1}{n^{3}+4n} \cdot n^{2} \to 1 $$ a medida que $n$ crece, y que la serie $\sum_{n} n^{-2}$ converge, por el test de comparación de límites tenemos la convergencia de la serie $\sum_{n}\frac{n+1}{n^{3}+4n}$.

Answer 2

Otra forma de comprobar la convergencia:

$$\sum_{n\ge 1}\frac{n+1}{n^3+4n}\le \sum_{n\ge 1}\frac{2}{n^2+4}< 2\sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{3}$$