¿Cómo dar una fórmula del perímetro de un $ r $-entorno de un conjunto suave en $2D$?

Question

Sea $A$ un conjunto abierto simplemente conexo en $\mathbb{R}^2$ con frontera suave. Defina $$A^r := \{x \in \mathbb{R}^2: d(x, A) \le r \},$$ donde $d$ es la función de distancia. Deje que $P$ denote la función de perímetro. Muestre que $$\lim_{r \rightarrow 0} \frac{P(A^r)-P(A)}{r}= 2\pi.$$

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Ciertamente es verdad para el caso en que $A$ es convexo. De hecho, se puede mostrar fácilmente que para cualquier conjunto convexo $A$, $$P(A^r)-P(A)=2 \pi r, \quad \forall r>0. $$ En general, si $A$ es solo un conjunto simplemente conexo con frontera suave o $C^1$, ni siquiera puedo encontrar una fórmula para describir $P(A^r)$. Creo que esto es esencialmente un problema de cálculo, una pregunta muy natural. ¿Alguien puede darme alguna idea? Gracias de antemano.

Answer 1

Sea $\gamma$ una parametrización de la longitud de arco de $\partial A$, orientada en sentido contrario a las agujas del reloj. Entonces $\gamma'$ es el vector tangente unitario. Es conveniente usar notación compleja aquí, de modo que $-i\gamma'$ sea la normal unitaria que apunta hacia la derecha de la tangente. El contorno de $A^r$ es trazado por $\gamma_r(t) = \gamma(t) - ir \gamma'(t)$. Por lo tanto, $$\gamma_r'(t) = \gamma'(t) - i r\gamma''(t)$$ Dado que $\gamma'$ es tangente unitaria, $\gamma''$ es una normal unitaria multiplicada por la curvatura $k(t)$. La multiplicación por $-i$ la alinea nuevamente con $\gamma'$; por lo tanto, $$\gamma_r'(t) = (1+rk(t))\gamma'(t)$$ Resta integrar $|\gamma_r'|$ para obtener la longitud de $\partial (A^r)$; lo que lleva a $$\int |1+rk(t)|\,dt= \int (1+rk(t))\,dt = P(A) +r\int k(t)\,dt $$ cuando $r$ es suficientemente pequeño. La curvatura total de una curva cerrada simple es $2\pi$.