Verificación de la solución: $\lim_{x \to 3} \frac {2x - 6} {\sqrt{x} - \sqrt{3}} = ?$

Question

Este límite no es demasiado difícil, pero me preguntaba si mi trabajo/solución se ve bien?

¡¡Muchas gracias por tu aporte!!

$$ \lim _ { x \to 3 } \frac { 2 x - 6 } { \sqrt x - \sqrt 3 } = ? $$

$$ 2 x - 6 = 2 x \left( 1 - \frac 6 { 2 x } \right) $$

$$ \lim _ { x \to 3 } \frac { 2 x - 6 } { \sqrt x - \sqrt 3 } = \lim _ { x \to 3 } \frac { 2 x \left( 1 - \frac 6 { 2 x } \right) } { \sqrt x - \sqrt 3 } = 2 \cdot \lim _ { x \to 3 } \frac { x \left( 1 - \frac 6 { 2 x } \right) } { \sqrt x - \sqrt 3 } = 2 \cdot \lim _ { x \to 3 } \frac { x - 3 } { \sqrt x - \sqrt 3 } $$

Al racionalizar el denominador:

$$ \frac { x - 3 } { \sqrt x - \sqrt 3 } = \sqrt x + \sqrt 3 $$

$$ 2 \cdot \lim _ { x \to 3 } \frac { x - 3 } { \sqrt x - \sqrt 3 } = 2 \cdot \lim _ { x \to 3 } \left( \sqrt x + \sqrt 3 \right) $$

Al sustituir $ x = 3 $:

$$ 2 \cdot \lim _ { x \to 3 } \left( \sqrt x + \sqrt 3 \right) = 2 \left( \sqrt 3 + \sqrt 3 \right) = 4 \sqrt 3 $$

Answer 1

En resumen: para $x\ne\sqrt 3$,

$$\frac{2x-6}{\sqrt x-\sqrt3}=2\frac{(\sqrt x-\sqrt3)(\sqrt x+\sqrt3)}{\sqrt x-\sqrt3}=2(\sqrt x+\sqrt3)\to4\sqrt3.$$

Answer 2

Su solución está bien, pero un poco verbosa.

Para remediar eso, personalmente sugiero trabajar alrededor de cero configurando $x=3+u$ con $u\to 0$, encuentro que activa reflejos naturales más fácilmente. También con fines de presentación, prefiero trabajar en la expresión y luego usar $\to$ para especificar el límite en lugar de llevar el operador $\ \lim\limits_{x\to 3}\ $ por todas partes, y el hecho de que el límite ahora esté en cero ayuda mucho (hace que el contexto sea obvio).

Compara lo corto que es esto:

$\require{cancel}f(x)=\dfrac{2x-6}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}=\dfrac{2u}{\sqrt{3+u}-\sqrt{3}}\overset{(*)}{=}\dfrac{2\cancel u}{\cancel u}(\overbrace{\sqrt{3+u}}^{\to\ \sqrt{3}}+\sqrt{3})\to4\sqrt{3}$

$(*)$ multiplicar por la cantidad conjugada.

Answer 3

Sí, la solución es correcta. El único cambio menor de estilo que consideraría personalmente es no entrar en tanto detalle al factorizar el 2 en la segunda línea, y mencionar que estás multiplicando tu fracción por $\frac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}.$