Un disco aislado, con densidad superficial de carga uniforme $\sigma$, de radio $R$ se coloca en el plano $x,y$. Deduce el potencial eléctrico $V(z)$ a lo largo del eje z. Luego considera un punto fuera del eje $p'$, con distancia $\rho$ desde el centro, haciendo un ángulo $\theta$ con el eje z. Expande el potencial en $p'$ en términos de polinomios de Legendre $P_l(\cos\theta)$ para $\rho < R$ y $\rho > R$
Para el punto en el eje z, esto es bastante fácil. El Voltaje diferencial de un anillo de carga diferencial con radio $r$ es:
$$dV = \frac{1}{4 \pi \epsilon_o} \frac{dq}{ \mathscr{R}}$$
$$dq = \sigma dA = \sigma 2 \pi r dr$$
$$\mathscr{R} = \sqrt{r^2 + z^2}$$
$$ \Delta V(z) = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_o}\int_0^R \frac{ r dr}{\sqrt{r^2 + z^2}} = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_o} \left( \sqrt{R^2 + z^2} - |z| \right)$$
Lo cual se obtiene usando una sustitución U.
En cuanto a la segunda parte, lo único que cambia es la distancia de la carga diferencial y el punto de interés así que tengo:
$$dV = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_o} \frac{r dr}{ \mathscr{R}}$$
Pero ahora usando la ley de los cosenos, utilizo el ángulo entre $r$ y $\mathscr{R}$, Nota: este no es el ángulo recomendado en el problema. Por lo tanto $\mathscr{R} = (r^2 + p^2 - 2rp\cos \phi)^{1/2} = r(1 - 2 \frac{p}{r}cos \phi + \frac{p^2}{r^2})^{1/2},$ usando coordenadas polares esféricas, donde $p$ es la distancia desde el origen al punto de interés, $p'$.
Esta es la función generadora de los polinomios de Legendre,
$$\therefore \frac{1}{\mathscr{R}} = \frac1r G\left( \frac{p}{r}, \cos \phi\right)$$
$$dV = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_o} G\left( \frac{p}{r}, \cos \phi\right) dr = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_o} \sum_{l = 0} ^{\infty} p_l(\cos \phi) \left( \frac{p}{r} \right)^l dr$$
De acuerdo, entonces mi pregunta es la siguiente, asumiendo que todo esto es correcto (lo cual creo que no lo es) ¿Cómo posiblemente integraría esto? ¿Es tan simple como $\int_0^R \left( \frac{p}{r} \right)^l dr$? Esto crea un infinito. Cualquier ayuda me salvaría mucho.
