Supongamos que estoy usando el método estrellas y barras para contar el número de soluciones enteras no negativas para$$x_1 + x_2 + x_3 = 3n.$$Claramente, será $\binom{3n + 2}{2}$. Y ahora supongamos que queremos contar el número de soluciones enteras positivas para la misma ecuación. Soy capaz de calcularlo sin usar estrellas y barras restando de $\binom{3n + 2}{2}$ (1) el número de soluciones donde un $x_i$ es cero, y (2) el número de soluciones donde dos $x_i$ son cero. Tenemos$$\binom{3n+2}{2} - 3(3n-1) - 3 = \binom{3n-1}{2},$$que es la respuesta correcta. Sin embargo, cuando intento aplicar estrellas y barras para encontrar el número de soluciones enteras positivas de la ecuación$$x_1 + x_2 + x_3 = 3n,$agrego $3$ a ambos lados para tener en cuenta el hecho de que cada uno de los tres $x_i$ ahora debe ser mayor o igual a $1$ y no $0$, y así termino obteniendo $\binom{3n + 5}{2}$, lo cual es claramente incorrecto.
No entiendo por qué tendría que restar $3$ de ambos lados de $$x_1 + x_2 + x_3 = 3n$$ para aplicar estrellas y barras en el caso de las soluciones enteras positivas en lugar de sumar $3$, para obtener la respuesta correcta de $\binom{3n-1}{2}$. Cualquier ayuda sería muy apreciada.
