¿Conoce algún buen libro que trate ampliamente de las identidades obtenidas mediante argumentos combinatorios y/o probabilísticos (por ejemplo, resolviendo el mismo problema combinatorio o probabilístico de dos formas distintas)?
A veces podemos oír hablar de combinatoria pruebas de un problema y a veces oímos hablar de pruebas basadas en formal o simbólico métodos. Las pruebas combinatorias suelen buscar biyecciones entre conjuntos finitos conocidos y los objetos que nos gusta contar, y de este modo intentamos comprender mejor la estructura subyacente de estos objetos. Por otro lado, los métodos simbólicos se basan en distintos tipos de funciones generadoras. Con la ayuda de estas funciones, muchos problemas de recuento pueden resolverse fácilmente con más bien simple métodos algebraicos utilizando operaciones formales y finitas y sin considerar límites u otros medios analíticos.
Un clásico proporcionar una enorme cantidad de pruebas combinatorias es Richard P. Stanleys Combinatoria Enumerativa Volumen $1$ y $2$ . Usted estaba pidiendo más de una prueba de una estructura y usted será satisfecho. Por ejemplo $6.19$ de Volumen $2$ te da $66$ diferentes conjuntos de los famosos Números catalanes $\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$ a mano. Usted encontrará allí muchos maravillosos ejemplos con pruebas combinatorias.
Otro clásico anterior es Combinatoria avanzada $(1974)$ de Louis Comtet. Este libro es también una gran guía por el paisaje de la combinatoria. Contiene muchos problemas particulares con pruebas combinatorias.
Estos dos libros son mi recomendación para combinatoria pruebas. Me gustaría añadir algunas pistas más para completar el (mi) cuadro:
El libro Identidades combinatorias de John Riordan ( $1968$ ) es un clásico maravilloso con miles de identidades binómicas organizadas sistemáticamente. Pero no suele proporcionar pruebas combinatorias. Es una gran referencia para buscar diferentes clases de identidades combinatorias.
Si también considera echar un vistazo al otro lado, formal entonces H.Wilf's Libro Generación de funciones es la iniciación perfecta y fácilmente accesible para comprobar el poder de las series formales.
Un gran libro, presumiblemente jugando en la misma liga que Stanleys Combinatoria Enumerativa es Combinatoria analítica de Philippe Flajolet y Robert Sedgewick. Aquí no sólo encontrará una referencia definitiva de los métodos simbólicos en Combinatoria (primera parte del libro), sino también cómo se puede utilizar el gran poder del análisis complejo para obtener información sobre el comportamiento asintótico, el análisis de singularidades de las funciones generadoras y muchas otras cosas bonitas.
El hilo conductor de todas estas referencias es: Léalo, analícelo (al menos en parte) y diviértase :-)
Hay un viejo libro de Riordan llamado Identidades combinatorias ,
una recopilación de H. Gould Identidades combinatorias: un conjunto normalizado de tablas ,
y manuscritos posteriores sobre el mismo tema descargables de la página web de Gould, http://www.math.wvu.edu/~gould/
Por lo que he visto, éstos sólo enumeran identidades combinatorias. No hay pruebas (combinatorias).
El libro de Riordan está bien. Hubiera esperado más ejemplos con argumentos combinatorios directos, pero los métodos presentados son interesantes y vale la pena estudiarlos.
Para los métodos de demostración, véase cualquier compendio de problemas de combinatoria resueltos, como el de Lovasz Problemas y ejercicios de combinatoria o manuales de formación para oposiciones, o un esquema de Schaum de combinatoria, o un libro de texto con muchos ejercicios resueltos suficientemente difíciles. Todas las fuentes de este tipo que he visto tienen un capítulo o más sobre identidades combinatorias, utilizando funciones generadoras y/o pruebas biyectivas. Una larga lista de libros de texto: math.stackexchange.com/questions/15201/
Pruebas que realmente cuentan de Benjamin y Quinn es muy bueno.
Puede que no sea lo que busca, pero Gian-Carlo Rota y Kenneth Baclawski's Introducción a la probabilidad y los procesos aleatorios es descargable gratuitamente en línea y es una introducción clásica a la probabilidad, con énfasis en la combinatoria subyacente. Sin duda podrías obtener muchas ideas sobre cómo generar los tipos de identidades que buscas, pero que yo sepa no tiene una lista enciclopédica de tales identidades.
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Matemáticas concretas de Graham, Knuth y Patashnik tiene un tratamiento en profundidad de la combinatoria y las matemáticas discretas en general, con muchos de los argumentos obtenidos al resolver el mismo problema de diferentes maneras.
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Combinatoria biyectiva, de Nick Loehr, es probablemente un buen libro para echar un vistazo. Es profesor en mi universidad y sólo he oído hablar maravillas de sus clases. Estoy seguro de que su libro es igual de bueno. Parece un texto de nivel avanzado de licenciatura o posgrado, por si sirve de algo. math.vt.edu/people/nloehr/bijbook.html
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Combinatoria Segunda Edición - Russell Merris es un libro magnífico. ... Pero es un poco caro. El capítulo 1 es brillante.