Solución en forma cerrada para $\displaystyle \sum_{x=1}^{k-1} {\frac{1}{x(k-x)}}$

Question

¿Existe alguna solución en forma cerrada para esta sumatoria?

$$\sum_{x=1}^{k-1} {\frac{1}{x(k-x)}}$$

$k$ es una constante entera finita.

Answer 1

Tenemos que $\frac{1}{x(k-x)} = \frac{1}{k} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{k-x} \right)$. Por lo tanto, $$\sum_{x=1}^{k-1} \frac{1}{x(k-x)} = \frac{1}{k} \left( \sum_{x=1}^{k-1} \frac{1}{x} + \sum_{x=1}^{k-1} \frac{1}{k-x} \right).$$ Al revertir el orden de suma en la segunda suma, obtenemos que esto es igual a $\frac{2}{k} H_{n-1}$, donde $H_{n-1} = \sum_{x=1}^{k-1} \frac{1}{x}$ es la suma armónica. (No hay una expresión más simple en forma cerrada para $H_n$, aunque se sabe mucho al respecto.)