Radio espectral, segunda norma inducida

Question

En mi libro de texto hay algunos hechos que están sin ninguna señal de una prueba, lo cual realmente me molesta, y estaba pensando que tal vez alguien pueda ayudarme:

1. $A\in \mathbb{R}^{m,n} \Rightarrow \ \|A\|_2 = \sqrt{\rho(A^TA)}$ donde $\rho(A^TA)$ denota el radio espectral de una matriz $A^TA$ es decir, el valor absoluto máximo de un eigenvalor de $A^TA$ (en este caso todos los eigenvalores son reales y no negativos)
2. Si $A\in\mathbb{R}^{n,n}$ y $A^T=A$ entonces $\|A\|_2=\rho(A)$
3. $\|A\|_2\le\sqrt{\|A^TA\|_{\infty}}$

Supongo que estos son hechos bien conocidos, sin embargo no pude encontrar sus pruebas en Internet. Los eigenvalores son muy nuevos para mí, tal vez por eso no pude (y por qué no soy capaz de demostrarlo solo, espero que no sean demasiado complicados, prefiero demostraciones simples). Además, en el primer hecho también el hecho de que los eigenvalores de $A^TA$ son reales y no negativos no es fácil para mí.

Además tengo varias preguntas:

1. Supongo que (aunque no sé mucho al respecto) $\|A\|_2=\max_{\vec{x}\neq\vec{0}} \frac{\|A\vec{x}\|_2}{\|\vec{x}\|_2}$ no es fácil de calcular. ¿Es útil esta segunda definición de $\|A\|_2$ (con radio espectral)? ¿Es más fácil de calcular? ¿Se pueden encontrar fácil y bastante rápido los eigenvalores, al menos numéricamente?
2. ¿Es esta desigualdad en el tercer punto muy buena, es decir, $\|A\|_2$ está cerca del límite superior dado?

Answer 1

1. Esto ya fue preguntado aquí muchas veces: $$\|A\|_2^2 = \max_{x\neq 0}\frac{\|Ax\|_2^2}{\|x\|_2^2}=\max_{x\neq 0}\frac{x^TA^TAx}{x^Tx}=\lambda_{\max}(A^TA)=\rho(A^TA).$$ La penúltima igualdad se debe al teorema de Courant-Fischer.

2. Si $A$ es simétrica, entonces $\rho(A^TA)=\rho(A^2)=\rho(A)^2. (Nótese que las matrices simétricas tienen eigenvalores reales y si un$\lambda$es un eigenvalor de una matriz simétrica$A$, entonces$\lambda^2$es un eigenvalor no negativo de$A^2$.)

3. Para cualquier (cuadrada) $B$ y cualquier norma de matriz $\|\cdot\|$ subodrinada con respecto a alguna norma vectorial, tenemos $\rho(B)\leq\|B\|$. Sustituye eso en el punto 1) con la elección especial $\|\cdot\|=\|\cdot\|_{\infty}$ para obtener $\|A\|_2=\sqrt{\rho(A^TA)}\leq\sqrt{\|A^TA\|_{\infty}}.

Adicional 1.

Calcular (o estimar) el eigenvalor más grande de una matriz generalmente es bastante fácil a diferencia del espectro completo o los eigenvalores pequeños pero eso puede (y probablemente depende) de la aplicación. Hay una amplia selección de diversos métodos numéricos para calcular eigenvalores: el espectro completo o solo parte de él. Ten en cuenta que todos estos algoritmos son iterativos y pueden funcionar bien o mal dependiendo de la matriz.

Adicional 2.

En mi opinión, eso generalmente no tiene por qué ser siempre el caso (a veces el límite puede ser ajustado, a veces no). Sin embargo, a diferencia de $\rho(A^TA)$, la norma $\infty$ es casi trivial de calcular.