Sea $G$ un grupo compacto, $H$ un subgrupo normal abierto y $K$ un campo $p$-ádico (por lo que no todos los $G$-reps con coeficientes en $K$ son semisimples). Sea $V$ un espacio vectorial topológico $K$ de dimensión finita con acción continua de $H$, tal que $V$ es irreducible como representación de $H$. ¿Es la representación inducida $\text{Ind}_H^G(V)$ semisimple?
En este contexto específico, estoy pensando en $G$ como el grupo de Galois de un campo, si eso es útil.
¡Gracias de antemano!
La respuesta es sí. Creo que debería ser un ejercicio en cualquier libro de teoría de la representación. Dado que $H$ tiene índice finito en $G$ y $V$ es de dimensión finita, la representación $W = Ind_H^G(V)$ inducida a $G$ también lo es. En característica cero, esto es equivalente a demostrar que el cierre de Zariski de $G$ en $GL(W)$ es reductivo.
El componente conectado ${\mathcal G}^0$ del cierre de Zariski ${\mathcal G}$ de $G$ en $GL(W)$ no cambia si reemplazamos $G$ por algún subgrupo de índice finito $K$. Tomamos $K$ como la intersección $\cap gHg^{-1}$ a medida que $g$ varía en $G$; esta es una intersección finita dado que $G/H$ es finito.
Restringida a $K$, la representación es semi-simple ya que $W$ restringida a $K$ es el espacio generado por la restricción a $K$ de los semi-simples $gV$ a medida que $g$ varía en $G/H. Por lo tanto, el radical unipotente de ${\mathcal G}^0$ actúa trivialmente en $gV$ para cada $g$ y, por lo tanto, en $W$. Por lo tanto, ${\mathcal G}^0$ no tiene radical unipotente.
[Editar] Debería haber dicho que estoy asumiendo que $Char(K) = 0.
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