Es el método de Arquímedes para calcular los volúmenes equivalentes a Cavalieri?

Question

La enciclopedia Británica es inequívoco: "resultó que Arquímedes había utilizado un método más tarde conocido como el principio de Cavalieri, que consiste en rebanar sólidos (cuyos volúmenes son para ser comparado) con una familia de planos paralelos." Supongo que es cierto que ambas se basan en rodajas, pero Cavalieri del cálculo para la esfera y el cilindro, sólo necesita una simple comparación de las secciones transversales, mientras que la de Arquímedes, del que requiere un diagrama con una maraña de líneas, y una palanca con la desigualdad de los brazos para equilibrar las piezas. También Cavalieri en el caso de la esfera está inscrita en el cilindro, mientras que en Arquímedes, tiene sólo la mitad de la del cilindro de radio, y Cavalieri del cono se invierte en comparación con Arquímedes.

Puede alguien explicar la relación exacta entre Arquímedes y Cavalieri del uso de cortar? Es allí una manera general a reformular las Archimedian de cálculo en un Cavalierian uno y/o viceversa? Uno de ellos es más general que la de los otros?

Answer 1

Arquímedes utiliza las propiedades ópticas de la parábola para demostrar que el área del segmento parabólico es $\frac{2}{3}$ del rectángulo circunscrito. En términos modernos, la óptica de la propiedad es equivalente a $\frac{d}{dx}x^2 = 2x$, mientras que el área depende de $\int x^2 = \frac{1}{3}x^3$, y el de Arquímedes argumento para el segmento parabólico puede ser considerada como el primer intento de proporcionar una antiderivada de un polinomio.

Con un resultado preliminar, él demostró que el volumen de la esfera es $\frac{4\pi}{3}R^3$ por "cortar". Puesto que el área de una sección es proporcional al cuadrado del radio de la sección, para encontrar el volumen de una esfera es esencialmente el mismo problema de hallar el área de un segmento parabólico, ya que ambos dependen de $\int x^2$ - y no por casualidad, el coeficiente de $\frac{1}{3}$ aparece en dos de ellos.

Así, en una muy vaga (pero no tanto) sentido, podemos decir que el método de Arquímedes fue un precursor de la Cavalieri del método. Y que Arquímedes fue un verdadero genio.