Consulta de notación de regla de la cadena

Question

Esto no es una pregunta sobre las matemáticas en sí, sino más bien sobre su notación.

En el libro 'Topological Solitons' de Manton y Sutcliff, utilizan la notación

$\nabla \phi^{(\mu)} (\textbf{x}) = \nabla (\phi(\mu\textbf{x})) = \mu \nabla \phi(\mu\textbf{x})$

donde hemos aplicado la regla de la cadena para la segunda igualdad. Mi pregunta es, ¿es esta la forma correcta de notar la regla de la cadena cuando solo tienes una función arbitraria $\phi$? Algo en ello no me convence, por decirlo de alguna manera, ya que $\nabla \phi(\mu(\textbf{x}))$ me sugiere que aún necesitamos aplicar la regla de la cadena para calcular el gradiente.

¡Se agradecería cualquier aclaración!

Answer 1

Presumiblemente usan $\nabla \phi$ para denotar simplemente el gradiente de $\phi$, es decir, "el gradiente de $\phi(\mathbf{x})$", por lo que $\nabla \phi(\mu \mathbf{x})$ es lo que se obtiene cuando se calcula primero ese gradiente y luego se sustituye $\mu \mathbf{x}$ en lugar de $\mathbf{x}$: $(\nabla \phi)(\mu \mathbf{x})$.

Por otro lado, la notación $\nabla (\phi(\mu \mathbf{x}))$ significa el gradiente de la función $\mathbf{x} \mapsto \phi(\mu \mathbf{x})$.