¿Cuándo es $N(T)$ un producto semidirecto? ¿Producto directo?

Question

$ \DeclareMathOperator\SO{SO} \DeclareMathOperator\SU{SU}$ ¿Para qué grupos de Lie simples compactos conectados $ G $ la secuencia $$ 1 \to T \to N(T) \to W \to 1 $$ se divide? Aquí $ T $ es el toro maximal, $ N(T) $ es el normalizador del toro maximal y $ W $ es el grupo de Weyl.

Sea $ T^r $ un toro de rango $ r $.

Para $ SO(3) $ la extensión se divide $ N(T)=T^1:2=O(2,\mathbb{R}) $. Yo asumía que esta extensión siempre se dividiría. Pero luego pensé más sobre $ SU(2) $ y me di cuenta de que $ N(T)=T^1 \cdot 2 $ no se divide para $ SU(2) $ ya que hay un único elemento de orden $ 2 $ y está en el componente de identidad.

Answer 1

Este es el Teorema 4.16 de https://arxiv.org/abs/1608.00510

Sea $ G $ un grupo de Lie compacto simple. Entonces $ N(T) $ se descompone como $ N(T)=T \rtimes W $ para los siguientes casos:

• $ PSU(n) $, y más generalmente cualquier grupo $ G $ de tipo $ A_n $ con $ |Z(G)| $ impar. También $ SU(4)/\pm I \cong SO(6) $, a pesar de que el centro tiene tamaño $ 2 $.

• $ SO(2n+1) $

• $ PSp(1) \cong SO(3) $ y $ PSp(2) \cong SO(5) $

• $ SO(2n) $ y $ PSO(2n) $

• $ G_2 $

Y $ N(T) $ no se descompone para:

• Grupos $ G $ de tipo $ A_n $ con $ |Z(G)| $ par, excepto $ SU(4)/\pm I \cong SO(6) $ donde $ N(T) $ se descompone, ver arriba

• $ Spin(2n+1) $

• $ PSp(n) $ para $ n \geq 3 $, y todos los $ Sp(n) $

• $ Spin(2n) $

• Todos los otros grupos excepcionales $ F_4, E_6, 3.E_6, E_7, 2.E_7, E_8 $

La referencia también señala que si $ N(T) $ se descompone para algún grupo $ G $ entonces $ N(T) $ también debe descomponerse para la forma adjunta de $ G $. De hecho, observar que $ N(T) $ se descompone para $ PSU(n), SO(2n+1),PSO(2n) $. Y por el contrapositivo, tenemos que $ N(T) $ no se descompone para $ PSp(n), n \geq 3 $ y por lo tanto, en efecto $ N(T) $ tampoco se descompone para el correspondiente $ Sp(n) $.