Determinar cuándo $A(e_n) = \alpha_n\sum_{i=n}^{2n}e_i$ es una función lineal acotada en $l^1(\mathbb{N})$

Question

Considera el espacio $S = l^1(\mathbb{N})$ sobre coeficientes complejos y define $A$ como $A(e_n) = \alpha_n\sum_{i=1}^{2n}e_n$ para la base estándar $\left(e_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ de $S$. Estoy tratando de determinar cuándo $A$ es una función lineal acotada, pero actualmente estoy atascado en mostrar que el codominio de $A$ realmente es $l^1(\mathbb{N})$, lo cual a su vez parece ser equivalente a que $A$ sea continua. Digo lo siguiente: $u \equiv \sum_{i=1}^\infty u_ie_i, u_i\in\mathbb{C}$ tal que $\sum_{i=1}^\infty |u_i| < \infty$. Ahora,

$$A\left(u\right) = A\left(\sum_{i=1}^\infty u_ie_i\right)$$

y me gustaría poder concluir que

$$A\left(u\right) = \sum_{i=1}^\infty A(u_ie_i) = \sum_{i=1}^\infty u_i\alpha_i\sum_{j=i}^{2i}e_i$$

Pero realmente no veo una forma inmediata de concluir esto. Poder sacar el límite es equivalente a

$$||\lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^NA(u_ie_i) - A(u)|| = \lim_{N\to\infty}||\sum_{i=1}^NA(u_ie_i) - A(u)|| = 0$$

pero el problema es que no sabemos a priori qué es $A(u)$, por lo que concluir la convergencia se siente dudoso.

¿Cómo debo proceder con esta demostración?

Answer 1

$\rhd$ El problema es que $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$ no es una base de $\ell^1( \mathbb{N})$, por lo tanto tu $A$ no está bien definido. Por ejemplo, $u= \left(\dfrac{1}{2^n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ no está en Span($(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$). Por lo tanto, es posible construir un operador $A$ que no está acotado para ninguna elección de $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

Por ejemplo, con $f_k = \left(\dfrac{1}{k^n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$, se puede demostrar que como $(e_n)_{n \in \mathbb{N}} \cup (f_k)_{k \geq 2}$ es una familia independiente de $\ell^1( \mathbb{N})$, entonces cualquier operador $A$ tal que :

• $A(e_n)= \alpha_n \sum\limits_{i=n}^{2n}e_i$ para todo $n \geq 2$ ;
• $A(f_k)= k.f_k$ para todo $k \geq 2$

no será un operador acotado.

$\rhd$ Por lo tanto, para proceder, debes asumir que $A(\sum_{i=1}^{+\infty} u_ie_i)) = \sum_{i=1}^{+\infty} u_iA(e_i)$. Con esto, deberías poder continuar y mostrar que: $$A \text{ es acotado }\;\; \Longleftrightarrow \;\; \exists C\geq 0 : \forall n \in \mathbb{N}, |\alpha_n|\leq \dfrac{C}{n+1}.$$

Answer 2

Sea $\mathbf{e}_k=\mathbb{1}_{k}$, es decir, $\mathbf{e}_k(m)=1$ si y sólo si $m=k$. Cualquier $\mathbf{x}\in\ell_1(\mathbb{N})$ puede escribirse como $$\mathbf{x}=\sum_{n\in\mathbb{N}}\mathbf{x}(n)\mathbf{e}_n$$

Observa que $\|A\mathbf{e}_n\|_1=2n|\alpha_n|$. Por lo tanto, si $C:=\sup_nn|\alpha_n|<\infty$ entonces $$\|A\mathbf{x}\|_1\leq\lim_N\sum^N_{k=1}|\mathbf{x}(k)|\|A\mathbf{e}_k\|_1\leq C\lim_N\sum^N_{k=1}|\mathbf{x}(k)|=C\|\mathbf{x}\|_1$$ para todo $\mathbf{x}\in\ell_1(\mathbb{N})$.

Por otro lado, si $A\in L(\ell_1,\ell_1)$ entonces $$\|A\mathbf{e}_k\|=2n|\alpha_n|\leq \|A\|\|\mathbf{e}_n\|_1=\|A\|$$ para todo $n$. Por lo tanto $\sup_n|\alpha_n|<\infty$.