Encuentra una demostración simple de que π es irracional

Question

Sé que hay muchas preguntas en el sitio sobre encontrar una prueba de que π es irracional, pero estoy publicando la pregunta por separado para discutir una prueba particular más a fondo

Sabemos que el Producto de Wallis es:

$$\frac{}{2}=(\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3})(\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5})(\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7})(\frac{8}{7}\cdot\frac{8}{9})\cdots$$

Esto significa que si π es un número racional, su numerador será un número par y su denominador será un número impar

Después de eso, todo lo que tenemos que hacer es encontrar una fórmula para el número π que dé una fracción "invertida" cuyo numerador sea un número impar y cuyo denominador sea un número par. Así, obtenemos una prueba similar a la prueba clásica de que √2 es irracional. De hecho, después de investigar un poco, encontré fórmulas de este modelo que son atribuidas a Leonard Euler:

Suponiendo que $p_n$ es una notación que se refiere al número primo $n$, la fórmula que deseamos es:

$$\frac{}{4}=\prod_{n=1}^ (\frac{p_n}{p_n+(-1)^{\frac{p_n+1}{2}}})=\frac{3}{3+1}\cdot\frac{5}{5-1}\cdot\frac{7}{7+1}\cdot\frac{11}{11+1}\cdot\frac{13}{13-1}\cdots$$

Representa un número impar dividido por un número par como se requiere. Así, obtenemos una contradicción mostrando que π es irracional.

Mi pregunta es: ¿Es válida mi prueba o hay un error en esta prueba?
No sé si puedo deducir esto de una proporción infinita o si es inválido. Si esto no es cierto, por favor, dé un ejemplo de un número racional que tenga dos representaciones como un producto infinito de las dos formas opuestas.

Answer 1

La prueba no es válida. El principal defecto es que las propiedades que se cumplen para todos los miembros de una secuencia no necesariamente se cumplen en el límite. Por ejemplo, consideremos que todos los miembros de la secuencia $\dfrac11,\dfrac12,\dfrac13,\ldots,\dfrac1n,\ldots$ son mayores que cero, una propiedad que claramente falla en su límite, que es cero. Como otro ejemplo relevante para el tema, hemos encontrado muchas secuencias de racionales que convergen a $\pi$, como las truncaciones de su expansión decimal $3,3.1,3.14,\ldots$ Nuevamente, la propiedad falla en el límite, ya que $\pi$ es irracional. Para tu ejemplo específico, ¿cómo podemos estar seguros de que el numerador y el denominador del límite del producto de Wallis mantienen su paridad (par o impar)? Podría comportarse como la secuencia $\frac{2}{2\times2+1},\frac{4}{2\times4+1},\frac{6}{2\times6+1},\ldots\to\frac12$, donde, en el límite, las paridades del numerador y el denominador se intercambian.

Esto significa que, si queremos llevar una propiedad al límite en una prueba válida, realmente tendríamos que demostrar que la propiedad se transfiera al límite (¡que es efectivamente lo que buscamos probar aquí en primer lugar!). La idea de tu prueba es atractiva y creo que es una gran táctica usar una prueba por contradicción, pero tiene un defecto intrínsecamente fatal que probablemente nunca tenga éxito. Y, desde una perspectiva histórica, la primera prueba de la irracionalidad de $\pi$ por Lambert en 1761 llegó más de 100 años después de la publicación del producto de Wallis en 1656. Es relativamente improbable que la investigación haya pasado 100 años pasando por alto una implicación simple de una propiedad significativa. Así que podemos esperar necesitar otra idea o dividir la prueba completa en partes más pequeñas, como hizo Lambert al probar las propiedades de la expansión en fracción continua de $\tan x$.

Answer 2

Aquí hay un ejemplo explícito para demostrar que la prueba no funciona. Consideremos el producto infinito $$\frac12\prod_{n=0}^\infty\frac{2^{2^n}+1}{2^{2^n}}=\frac12\cdot\frac32\cdot\frac54\cdot\frac{17}{16}\cdots$$ donde todos los numeradores son impares y todos los denominadores son pares. Podemos verificar por inducción que los productos parciales son $$\frac12\prod_{n=0}^N\frac{2^{2^n}+1}{2^{2^n}}=\frac{2^{2^{N+1}}-1}{2^{2^{N+1}}},$$ por lo que el producto infinito se evalúa a $1$.

Luego, tomando los recíprocos de todos los términos da otra representación de $1$ con paridades opuestas.