Para comprobar que un conjunto forma un espacio vectorial, por supuesto debemos demostrar que satisface los axiomas del espacio vectorial.
Sin embargo, vagamente recuerdo que cuando solía hacer esto, había una expresión específica que probaba y si funcionaba, marcaba automáticamente una buena cantidad de estos axiomas. Pero lamentablemente, ya no recuerdo.
¿Recuerdas alguna técnica así?
Creo que estás hablando de demostrar que un conjunto $S \subset V$ es un espacio vectorial cuando $V$ es un espacio vectorial, es decir, mostrando que $S$ es un subespacio de $V.
En ese caso, necesitas demostrar que $\vec{0} \in S$ y que $S$ está cerrado bajo la adición y multiplicación constante. En otras palabras, si $\vec{x}, \vec{y} \in S$ y $a, b \in \mathbb{R}$, entonces $a\vec{x} + b\vec{y} \in S.
La razón por la que estas dos condiciones son suficientes es porque los otros axiomas del espacio vectorial se derivan del hecho de que $V$ en sí mismo es un espacio vectorial.
ACTUALIZACIÓN
Como señaló en los comentarios @celtschk, establecer $a = b = 0$ obliga a concluir que $0 \in S$ siempre que se cumpla la segunda condición. Entonces realmente solo hay una condición, a saber, que si $a, b \in \mathbb{R}$ y $\vec{x}, \vec{y} \in S$, entonces $a\vec{x} + b\vec{y} \in S.
Una forma breve de definir un grupo es un conjunto no vacío $G$ con una operación binaria asociativa tal que para todo $x,y\in G$ existen únicos $z_1, z_2\in G$ con $xz_1=z_2x=y.$
La adición de vectores en un espacio vectorial forma un grupo conmutativo. Entonces, si $U$ es un subconjunto no vacío de un espacio vectorial $V,$ entonces $U$ es un subespacio vectorial si y solo si (1) $ au\in U$ para todo escalar $a$ y todos $u\in U,$ y (2) para todo $x,y\in U$ existe $z\in U$ con $x+z=y$ (equivalentemente $y-x\in U$ para todo $x,y\in U.$)
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