Sea $X$ un esquema localmente Noetheriano y sea $\mathscr{F}$ un haz coherente en $X$. Me gustaría construir el subhaz de torsión $T(\mathscr{F})$ de $\mathscr{F}$ de la siguiente manera: para cualquier abierto afín $U \subseteq X$, denotemos $A = \Gamma \left(U, \mathscr{O}_X \right)$ y $M = \Gamma \left(U, \mathscr{F} \right)$. Definimos
$$ T(\mathscr{F})(U) = T(M) = \left\{ m \in M \,|\, \exists \,a \in A\text{ no es divisor de cero tal que } a \cdot m = 0 \right\}.$$
Quiero probar que $T(\mathscr{F})$ es un subhaz coherente de $\mathscr{F}$. Para esto, necesito demostrar dos cosas:
(1) La torsión conmuta con la localización: para cualquier $f \in A$, $T(M)_f = T(M_f)$.
(2) Las secciones locales se pegan de manera única: si $A$ es un anillo Noetheriano, $(f_1,...,f_r) = A$, $m \in M$ y para todo $i \leq r$, $m \in M_{f_i}$ es de torsión, entonces $m \in M$ es de torsión.
Para (2), se prueba aquí. Intenté probar (1) yo mismo. En primer lugar, hay un homomorfismo inyectivo
$$ T(M)_f \rightarrow T(M_f).$$
Esto se sigue del hecho de que un elemento de $T(M)$ se envía a un elemento de $T(M_f)$ bajo la localización $M \rightarrow M_f$. Quiero demostrar que es sobreyectivo. Sea $(m, f^k) \in M_f$ un elemento de torsión, es decir, existe un divisor no cero $(a, f^j) \in A_f$ tal que $(a m, f^{j+k}) \sim 0$. Por la definición de localización, existe un $l \in \mathbb{N}$ tal que $f^l ( a m) = 0 \in A$. Observa que $a$ es un divisor no cero de $A$, por lo tanto $f^l m \in M$ es de torsión. Pero entonces $(f^l m, f^{l + k}) \in T(M)_f$ y su imagen en $T(M_f)$ es $(m, f^k).
Me gustaría preguntar si esto es correcto. Si lo es, me preguntó por qué no está escrito en otro lugar. Sé que hay una definición similar (pero no equivalente) de haz puro que se puede encontrar en Huybrechts-Lehn. ¿Por qué parece que la gente prefiere esa?
