Los polinomios de Taylor respetan las derivadas

Question

Quiero demostrar que la derivada del polinomio de Taylor de orden $n$ es el polinomio de Taylor de orden $n-1$ de la derivada. Más específicamente:

Supongamos que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es diferenciable $n$ veces en torno a $x_0$ y $T_n(x)$ es un polinomio de grado a lo sumo $n$. Entonces si $$ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x) - T_n(x)}{(x-x_0)^n} = 0 $$ entonces $$ \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x) - T'_n(x)}{(x-x_0)^{n-1}} = 0 $$

$\textbf>Busco una demostración de este hecho que sea lo más directa posible$. Este hecho parece ser un corolario simple de la regla de l'Hôpital. Sin embargo, no creo que sea legítimo ya que la regla de l'Hôpital supone que el límite $\frac{f'}{g'}$ existe, y esto es lo que estamos tratando de probar.

Creo que esta propiedad debería ser cierta por el siguiente argumento: La hipótesis implica que $T_n(x)$ es el polinomio de Taylor de orden $n$ de $f$ en torno a $x_0$. Por lo tanto $$ T_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k. $$ Esto implica $$T'_n(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k+1)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{g^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$$

donde $g(x) = f'(x)$. Por lo tanto, $T'_n(x)$ es el polinomio de Taylor de orden $n-1$ de $g(x) = f'(x)$. Nuevamente, es bien sabido que esto implica $$\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x) - T'_n(x)}{(x-x_0)^{n-1}} = 0$$

Answer 1

Esto no es cierto tal como se afirma. Toma $n=1$. Entonces si $T_1=a+b(x-x_0)$, la primera condición simplemente significa que $f(x_0)=a$ y $f'(x_0)=b$. A partir de eso, quieres concluir que $\lim_{x\to x_0} f'(x)=b$, es decir que $f'$ es continua en $x_0$. Pero hay funciones diferenciables con derivadas discontinuas, por ejemplo $x^2\sin(1/x)$, extendidas a ser $0$ en $x=0$.

Si $n>1$, entonces tu demostración está bien. La trampa es que para aplicar el teorema de Taylor a $g$, necesitas que $n-1\geq 1.$ (o puedes extenderlo a polinomios de grado 0 si defines una función 0 veces diferenciable como una función continua, pero entonces no es cierto que la derivada de una función $n$ veces diferenciable sea $n-1$ veces diferenciable).