¿Existe una solución a la ecuación $tan({\phi})=\frac{0}{0}$?

Question

He estado leyendo sobre la conversión de coordenadas Cartesianas ($x,y,z$) a coordenadas Esféricas (r, $\theta$, $\phi$). La fórmula para encontrar el valor de ${\phi}$ se da como:

$\tan({\phi})=\frac{y}{x}$

Mis problemas comienzan cuando tengo un punto en coordenadas Cartesianas como $(0,0,1)$. Para obtener $\phi$ debería encontrar el valor de

$\tan^{-1}(\frac{0}{0})$

y para mí no tiene sentido.

Intuitivamente y gráficamente, puedo ver que $\phi$ puede tomar cualquier valor, porque $\theta=0$, pero no puedo encontrar una forma de plasmar la idea en papel.

Gracias.

Answer 1

Esta ecuación no funciona para puntos en el eje $z$, por una razón.

Las tres coordenadas esféricas, como dices, son $(r, \theta, \phi)$, o la distancia radial, el ángulo polar y el ángulo azimutal respectivamente.

Tu punto, $(0, 0, 1)$ está directamente arriba del origen en el plano cartesiano 2D. Está a una distancia $r=1$ del origen.

En cuanto a $\theta$, obviamente está a $90º$ por encima del horizonte, apuntando directamente hacia arriba.

La razón por la que falla la fórmula de la tangente es porque no importa cuál sea $\phi$, aunque la convención te diría que la dejaras en $0$ o algún número similar.

No importa cómo gires el punto alrededor del eje $z$, no cambiará de posición. Si estuviera fuera del eje $z$, entonces tendría ya sea una coordenada $x$, una coordenada $y, o incluso mejor, ambas.

Observa que si $x=0$, entonces $\phi$ también es indefinido. Esto es porque, si $x=0$, es geométricamente evidente que es un ángulo de $\frac{π}{2}$ respecto al eje $z$, y $\tan$ tiene una asíntota en ese valor de ángulo.

Imagina que estás mirando hacia abajo en el plano cartesiano 2D. La fórmula de la tangente es válida cuando $x ≠ 0$. Cuando $x = 0$, simplemente usa el sentido común sobre cuál debe ser el ángulo (es decir, $90º$ de distancia del eje $x$ positivo, en cierto sentido).