Demostrar que $d_X$ es una métrica en $X$, donde $X$ es el conjunto de todos los subconjuntos cerrados del disco unitario en $\mathbb{R}^2$.

Question

Considere el disco unitario cerrado $$D = \big\{(x, y) \in\mathbb{R}^2\,\big| x^2+y^2\leq 1\big\} \subseteq \mathbb{R}^2$$ con la métrica $d$ inducida por la métrica euclidiana en $\mathbb{R}^2$, y sea $X$ el conjunto de todos los subconjuntos cerrados de $D$. Para $A\in X$ y $x \in D$, defina $$\text{dist}(x, A) := \min_{a\in A}\, d(x, a)\,.$$ Para $A, B \in X$, defina $$d_X(A, B) := \max \left\{\max_{a\in A}\,\text{dist}(a, B),\max_{b\in B} \text{dist}(b, A)\right\}\,.$$ Muestre que $d_X$ define una métrica en $X$.

¿Cómo puedo demostrar que $d_X$ satisface la desigualdad del triángulo?

Answer 1

Consejo. Para simplificar, escribiré $\delta$ en lugar de $\text{dist}$. Nota que, para $A,B,C\in X$, tenemos $$\begin{align}d_X(A,B)&+d_X(B,C)\\&\geq \max\left\{{\small\max_{a\in A}\,\delta(a,B)+\max_{b\in B}\,\delta(b,C)}\,,\,\,{\small\max_{b\in B}\,\delta(A,b)+\max_{c\in C}\,\delta(B,c)}\right\}\,.\end{align}$$ Luego, verificar que $$\max_{a\in A}\,\delta(a,B)+\max_{b\in B}\,\delta(b,C)\geq \max_{a\in A}\,\delta(a,C)$$ y que $$\max_{b\in B}\,\delta(A,b)+\max_{c\in C}\,\delta(B,c)\geq \max_{c\in C}\,\delta(A,c)\,.$$ Una observación probablemente importante es que cada conjunto en $X$ es un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^2$.