Derivada fraccional de una constante (Derivada de Riemann-Liouville)

Question

En un libro que leí sobre la derivada fraccional de Riemann-Liouville, dice, $$_0D_t^\alpha 1=\frac{t^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)},\alpha\geq0,t\geq0$$ lo cual se anula de manera idéntica para $\alpha\in\mathbb{N}$, debido a los polos de la función Gamma.(????)

Tengo dos preguntas, la primera es, ¿por qué la ecuación será aplicable para $\alpha\geq0$? ¿No es cierto que la función gamma solo está definida para argumentos positivos? Porque estaba pensando por qué la restricción no es $0<\alpha<1$.

Mi segunda pregunta es qué significa la frase "lo cual se anula de manera idéntica para $\alpha\in\mathbb{N}$, debido a los polos de la función Gamma".

Gracias.

Answer 1

1. La función $\Gamma$ está definida en todo el plano complejo excepto por sus polos simples en enteros no positivos.
   Aquí hay una representación del valor absoluto de $\Gamma$:

2. El recíproco de $\Gamma$ es una función entera con ceros en enteros no positivos.

Answer 2

Tenemos dos funciones de alguna manera extrañas. La potencia negativa y la función gamma. La potencia negativa se asume prolongada a t negativos con ceros - podemos escribir t^(-a).u(t) - tiene un polo en t=0 cuando a es un entero positivo, a=N. La función gamma está definida para todos los t, pero tiene polos en t<=0. la función 1/gamma(t) es analítica con ceros en t<=0. Esto significa que la función que escribiste arriba tiene problemas cuando a=N. ¿Qué sucede en este caso? obtenemos el delta de Dirac y sus derivadas. Por eso debemos ser cuidadosos al usar las derivadas de Riemann-Liouville o Caputo. Evítalas.