Prueba de que $\sum_{n=1}^n a_n^2$ converge implica que $\sum_{n=1}^n \frac{a_n}{n}$ converge

Question

Cálculo 1..

no pude entender esa parte.

Dado $$\sum_{n=1}^n a_n^2$$ converge,

¿cómo puedo demostrar que implica la convergencia de $$\sum_{n=1}^n \frac{a_n}{n}$$?

Intuitivamente pensé en la prueba de comparación, pero no se me da que $a_n$ sea positivo.

¡Gracias!

Answer 1

Pista. $$\left(\sum_{k=1}^n\frac{|a_k|}{k}\right)^2\le \sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2} \sum_{k=1}^na_k^2$$

Answer 2

Sea $\varepsilon>0$. Dado que ambas series $$\sum_{n=1}^\infty{a_n}^2\text{ y }\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}$$ convergen, existe un $p$ natural tal que si $m,n\in\mathbb N$ y si $m\geqslant n$, entonces $$\sum_{k=n}^m{a_k}^2<\varepsilon\text{ y }\sum_{k=n}^m\frac1{k^2}<\varepsilon.$$ Por lo tanto $$\left|\sum_{k=n}^m\frac{a_k}k\right|\leqslant\sqrt{\sum_{k=n}^m{a_k}^2}\sqrt{\sum_{k=n}^m\frac1{k^2}}<\sqrt\varepsilon^2=\varepsilon.$$ Así que, tu serie converge, por el criterio de convergencia de Cauchy.