Problema en una prueba inductiva del teorema del punto fijo de Brouwer.

Question

He estado leyendo este artículo que propone una demostración inductiva del teorema del punto fijo de Brouwer utilizando solo topología "básica", evitando el uso de grupos de homotopía como se hace en la demostración habitual.

Para hacerlo, asumimos que dado $n \in \mathbb{N}$, cualquier función continua de $C = [0,1]^n$ en $C$ tiene un punto fijo y demostramos que cualquier función continua $f$ de $C\times[0,1]$ en $C \times [0,1]$ tiene un punto fijo (el caso base para $n = 1$ ya está demostrado por el teorema del valor intermedio). Escribimos $f = (f_1,\dots,f_{n+1})$ donde cada $f_i:C\times [0,1] \rightarrow [0,1]$ es una función continua. Luego se define $\phi = (f_1,\dots,f_n)$ que es claramente una función continua y se escribe $\phi_t: C \rightarrow C$ como la función $\phi_t(x) = \phi(x,t)$, que claramente es continua. Luego, por hipótesis de inducción, notamos que cada $\phi_t$ tiene un punto fijo, con esto en mente definimos $$X = \{(x,t) \in C \times [0,1]: \phi_t(x) = x\} = (\phi-id)^{-1}(\{0\})$$ Y como este conjunto es la preimagen de un conjunto cerrado bajo una función continua, es cerrado y no vacío porque por inducción cada $\phi_t$ tiene al menos un punto fijo.

Sin embargo, aquí es donde surge mi problema con la demostración, ya que a continuación toma $\pi_2: C\times [0,1] \rightarrow [0,1]$ como la proyección sobre la última coordenada. Notamos que $\pi_2(X) = [0,1]$ ya que hay al menos un punto fijo para cada $\phi_t$, pero el problema es que como claramente $\pi_2$ es una aplicación abierta, la demostración en el artículo asume que $\pi_2|_X$ también es una aplicación abierta. Sin embargo, las restricciones de aplicaciones abiertas no siempre son abiertas, ¿entonces el artículo está equivocado o qué me estoy perdiendo?

He intentado demostrar que esta aplicación es de hecho abierta, pero no puedo hacerlo, de hecho parece que podría no ser abierta, lo que demostraría que el artículo está equivocado, ¿cómo se podría demostrar que esta restricción es de hecho abierta? ¿O cuál sería un contraejemplo de una función $f$ tal que el conjunto que definimos como $X$ es tal que la restricción de $\pi_2$ no es abierta?

Answer 1

La afirmación de que $\pi_2$ restringida a $X$ es abierta, desafortunadamente es falsa. Considera

$$f:[0,1]^2\to[0,1]^2$$ $$f(x,t)=(tx,t)$$

Entonces $\phi(x,t)=tx$ y $\phi_t(x)=tx$. Por lo tanto $\phi_t(x)=x$ si y solo si $x=0$ o $t=1$. En otras palabras

$$X=\big(\{0\}\times[0,1]\big)\cup\big([0,1]\times\{1\}\big)$$

Puedes verificar fácilmente que ninguna de las proyecciones restringidas a $X$ es abierta (algunos de sus subconjuntos abiertos se mapean en un punto).

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Después de leer el artículo, esto parece ser un error crucial e irreparable en la demostración. O al menos no veo cómo se puede corregir. Aunque podría estar equivocado. O tal vez no haya una demostración elemental después de todo...

Answer 2

La respuesta de freakish ya ha identificado el defecto concreto en la prueba reclamada. Pero también hay un obstáculo fundamental para cualquier tipo de "demostración inductiva elemental", a saber, que el teorema del punto fijo de Brouwer en dimensión 1 se comporta de manera muy diferente que en dimensiones más altas.

Si consideramos una función computable $f : [0,1] \to [0,1]$, siempre tendrá un punto fijo computable (ya sea que tenga un punto fijo aislado, que luego es computable por bisección, o tenga un intervalo completo lleno de puntos fijos, que también contendrá números computables). Si pudiéramos probar el teorema del punto fijo de Brouwer mediante la iteración de algún modo del teorema del valor intermedio, esperaríamos que esta prueba también mostrara que cada función computable $f : [0,1]^n \to [0,1]^n$ tiene un punto fijo computable.

Sin embargo, Orevkov ha construido un ejemplo de una función computable $f : [0,1]^2 \to [0,1]^2$ que no tiene ningún punto fijo computable en absoluto.