Una de Eisenstein-como irreductibilidad criterio

Question

Yo podría utilizar un poco de ayuda con probar el siguiente irreductibilidad criterio. (Que entró en la clase y me puse interesados.)

Deja p ser una de las primeras. Para un entero $n = p^k n_0$, donde p no divide $n_0$ set: $e_p(n) = k$. Deje $f(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0$ ser un polinomio con coeficientes enteros. Si:

1. $e_p(a_n) = 0$,
2. $e_p(a_i) \geq n - i$ donde $i = 1, 2, \ldots, n-1$,
3. $e_p(a_0) = n - 1$,

entonces f es irreducible sobre los racionales.

La reducción de la mod p y la imitación de la prueba de Eisenstein, el criterio no es (creo). También traté de jugar con la reducción de mod $p^k$, pero se quedó atascado desde $Z_{p^k}[X]$ no es un disco flash usb.

También, hace que este criterio tiene un nombre?

Answer 1

Aplicar el criterio de Eisenstein a ${1 \over p^{n-1}}x^nf({p \over x})$.

Answer 2

Una manera de demostrar que la irreductibilidad parece ser la de utilizar el Polígono de Newton. La condición de los coeficientes de $f$ significa que el Polígono de Newton tiene un lado de la pendiente $\dfrac{1}{n}-1$ y que, por ende, $f$ tiene una raíz $\alpha$ en algunos algebraicas cierre de $F$ $\mathbf{Q}_p$ con valoración $1 - \dfrac{1}{n}$ (no hay una única manera de prolongar $e_p$ a una valoración de $F$).

Pero, a continuación, la extensión de $\mathbf{Q}_p \subset \mathbf{Q}_p(\alpha)$ es totalmente ramificado de grado $n$ $f$ debe ser irreductible $\mathbf{Q}_p$ por lo tanto , a fortiori, irreductible $\mathbf{Q}$.