$(1+x)^{20}=\sum_{r=1}^{20}a_rx^r$, donde $a_r=\binom{20}{r}$, encuentra el valor $\mathop{\sum\sum}_{0\le i<j\le 20}(a_i-a_j)^2$

Question

$(1+x)^{20}=\sum_{r=1}^{20}a_rx^r$ donde $a_r=\binom{20}{r}$, encuentra el valor $$\mathop{\sum\sum}_{0\le i

Primero calculé el valor de $\mathop{\sum\sum}_{0\le i

$$A=\mathop{\sum\sum}_{0\le i

Luego calculé el valor de $\mathop{\sum\sum}_{0\le i

$$B=\mathop{\sum\sum}_{0\le i

La respuesta final que obtuve fue $2A-2B=41\binom{41}{20}-2^{40}$

Pero la respuesta dada es $41\binom{42}{20}-2^{40}$

Answer 1

De $(a_i - a_j)^2 = a_i^2 - 2 a_i a_j + a_j^2$, estoy bastante seguro de que quieres $2A - 2B$. Pero tus $A$ y $B$ dan $2A - 2B = 41 \binom{40}{20} - 2^{40}$, lo cual tampoco es la respuesta dada, por lo que debe haber error(es) en tus $A$ y/o $B$. Cuando calculo $A$, obtengo $10 \binom{40}{20}$ y cuando calculo $B$, obtengo el mismo valor que tienes. Esto sugiere un error de factor $2$ en tu cálculo de $A$. Calculo: $$\begin{align} A &= \sum_{i=0}^{20} \sum_{j=i+1}^{20} a_j^2 \\ &= \frac{1}{2}\left( \sum_{i=0}^{20} \sum_{j=0}^{20} a_j^2 - \sum_{i=0}^{20} a_i^2 \right) \\ &= \frac{1}{2}\left( 21 \binom{40}{20} - \binom{40}{20}\right) & &\text{(contra. tu $41 \dots$) }\\ &= 10 \binom{40}{20}, \end{align}$$ obteniendo la discrepancia esperada de factor $2$.

Con este nuevo $A$ y el antiguo $B$, tenemos $$\begin{align} \sum_{i=0}^{20} \sum_{j=i+1}^{20} (a_i - a_j)^2 &= 2A - 2B \\ &= 20 \binom{40}{20} - \left( 2^{40} - \binom{40}{20} \right) \\ &= 21 \binom{40}{20} - 2^{40}. \end{align}$$

La respuesta dada es más de $10$ veces mayor que esto, así que tengo dudas sobre su corrección.

Además: Comprobando numéricamente: $$ \begin{align} \sum_{i=0}^{20} \sum_{j=i+1}^{20} (a_i - a_j)^2 &= 1\,795\,265\,477\,444. \\ 21 \binom{40}{20} - 2^{40} &= 1\,795\,265\,477\,444. \\ 41 \binom{41}{20} - 2^{40} &= 9\,934\,774\,798\,244. \\ 41 \binom{42}{20} - 2^{40} &= 19\,965\,944\,276\,444. \end{align}$$

Answer 2

Usando Lagrange Identity (que es $$\sum_{i=1}^nx_i^2\sum_{j=1}^ny_i^2=\sum_{i

Así, recordando que $a_r=\binom{20}{r}$, tenemos $\sum_{i=1}^{20}a_i=2^{20}-1$ y $\sum_{i=1}^{20}a_i^2=\binom{40}{20}-1$.

¿Puedes concluir? (Nota que la suma $\sum(a_i-a_j)^2$ en $(*)$ comienza en 1, mientras que necesitas que la suma comience en 0).