Pregunta sobre la demostración del teorema de mapeo espectral para polinomios

Question

El Teorema 13.9 en estas notas de clase es el teorema del mapeo espectral polinómico:

Teorema 13.9 Para un polinomio $p$, tenemos $\sigma(p(T)) = p(\sigma(T))$.

Mis preguntas:

1. Primera dirección: ¿Por qué $q(T) (p(T) - p(\lambda) I)$ sería un inverso para $T - \lambda I$? Actualización: @RobertIsrael dijo que en su lugar $(p(T) - p(\lambda) I)^{-1} q(T)$ debería ser $(p(T) - p(\lambda) I)^{-1}$ ¿verdad? Según las líneas en la demostración anterior, tenemos $$ (p(T) - p(\lambda) I)^{-1} = ((T - \lambda I) q(T))^{-1} \overset{?!}{=} q(T)^{-1} (T - \lambda I)^{-1}, $$ pero como $\lambda \in \sigma(T)$ por suposición, $(T - \lambda I)^{-1}$ no existe, ¿verdad?

2. Para la segunda dirección: ¿Por qué $x_i \in \sigma(T)$ implica que $p(x_i) - \mu = 0$? Pensé que $x_i \in \sigma(T)$ solo implica que $T - x_i I$ no es invertible de manera acotada. Dado que $\mu \in \sigma(p(T))$ tenemos que $p(T) - \mu I = c \prod_{k = 1}^{n} (T - x_i I)$ no es invertible de manera acotada, pero ¿cómo ayuda eso?

En ambas afirmaciones parece haber una noción de "un producto de operadores no es invertible si ninguno de los factores lo es", pero ¿cómo puede ser cierto? Considera por ejemplo los operadores de desplazamiento en espacios de secuencias tales que $ST = I$, es decir, los operadores de desplazamiento a izquierda y derecha, entonces la noción mencionada anteriormente no se cumple, ¿verdad?

Answer 1

(1). Debería ser: "de lo contrario $(p(T)-p(\lambda) I)^{-1} q(T)$ daría una inversa acotada para $T - \lambda I$."

(2). $p(x_i) - \mu = 0$ sustituyendo $x = x_i$ en la ecuación $p(x) - \mu = c \prod_{i} (x - x_i)$

EDICIÓN: Nota que todas las funciones polinómicas de $T$ y sus inversas (cuando existen) conmutan. Así, de $q(T) r(T) = r(T) q(T)$, si $r(T)^{-1}$ existe multiplicamos por $r(T)^{-1}$ en ambos lados para obtener $r(T)^{-1} q(T) = q(T) r(T)^{-1}$.

El punto en (1) es que $p(x) - p(\lambda) = (x -\lambda) q(x)$ significa $p(T) - p(\lambda) I = (T - \lambda I) q(T) = q(T) (T - \lambda I)$, y por lo tanto si $(p(T) - p(\lambda) I)^{-1}$ existiera podríamos multiplicar la ecuación por eso para obtener $I = (T - \lambda I) q(T) (p(T) - p(\lambda) I)^{-1} = q(T) (p(T) - p(\lambda) I)^{-1} (T - \lambda I)$, es decir, $q(T) (p(T) - p(\lambda)I)^{-1}$ es una inversa para $T - \lambda I$.

Answer 2

Voy a usar los siguientes teoremas.

Sean $g: A \to B$ y $f: B \to C$ funciones.

$(a)$ Si $f \circ g$ es inyectiva, entonces $g$ es inyectiva.

$(b)$ Si $f \circ g$ es sobreyectiva, entonces $f$ es sobreyectiva.

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(Teorema de la Inversa Acotada): Sean $X, Y$ espacios de Banach y supongamos que $T: X\to Y$ es un operador lineal continuo inyectivo y sobreyectivo. Entonces $T^{−1}: Y\to X$ es continuo.

Además, se dice que $T$ es biyectivo si $T$ es inyectivo y sobreyectivo, y $T$ se dice invertible si $T$ es un mapeo lineal biyectivo acotado con una inversa acotada. Por lo tanto, el Teorema de la Inversa Acotada establece que todo mapeo lineal biyectivo acotado de un espacio de Banach a un espacio de Banach es invertible.

Por lo que entiendo, aquí estamos considerando un espacio de Hilbert $X$, que es un espacio de Banach. Por lo tanto podemos aplicar el Teorema de la Inversa Acotada. Argumentaría de la siguiente manera.

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Es fácil ver que $p(T) - p(\lambda)I$ y $(T-\lambda I)$ son operadores lineales acotados (asumiendo que $T$ es un operador lineal acotado). Mostraremos que $p(T) - p(\lambda)I$ no es invertible.

Por el contrario, supongamos que $p(T) - p(\lambda)I$ es invertible. En particular, $p(T) - p(\lambda)I$ es biyectiva. Entonces, por la relación $$p(T) - p(\lambda)I=(T - \lambda I) q(T)= q(T)(T - \lambda I),$$ vemos que $(T - \lambda I)$ es biyectiva. Entonces, por el Teorema de la Inversa Acotada, $(T - \lambda I)$ tiene una inversa acotada, lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, $p(T) - p(\lambda)I$ no es invertible. Por lo tanto, $p(\lambda)\in\sigma(p(T))$.

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Como puedes ver, no encontré la inversa de $(T - \lambda I)$ explícitamente. La existencia de la inversa acotada en sí misma es una contradicción y es suficiente para nuestros propósitos.

Para tu segunda pregunta, la igualdad $p(x_i) - \mu = 0$ se sigue de la factorización de $p(t)-\mu$.