¿Cómo utilizo la prueba por contradicción para demostrar que para todos los números primos $x$, $y$ y $z$, $x^2 + y^2 \neq z^2?

Question

Implicación original: Para todos los números primos $x$, $y$ y $z$, $x^2 + y^2 \neq z^2$.

No estoy seguro si estoy entendiendo correctamente el proceso de demostración por contradicción. Lo que entiendo hasta ahora es que primero debo convertir la declaración inicial en una contrapositiva. Lo cual sería:

$x^2 + y^2 = z^2 \Rightarrow$ algunos $x$, $y$, $z$ pertenecientes a $\mathbb{Z}$ (números enteros), no($P(x, y, z)$), donde $P$ = números primos.

Agradecería mucho ayuda para descubrir los pasos restantes para demostrar por contradicción.

Answer 1

Pista: Suponga que $x^2+y^2=z^2$ para algún primo $x, y, z$. No todos los $x, y, z$ pueden ser impares (ejercicio), así que al menos uno debe ser par, es decir, 2. Ahora hay dos casos: o $x=2$ o $z=2$. El último caso es fácil de descartar. Para el primero, obtenga una contradicción considerando $4 = z^2-y^2 = (z-y)(z+y)$ y deduciendo los posibles valores de $y, z$.