Encuentra los límites (usando el teorema del apriete u otro teorema)

Question

No estoy seguro si calculé los límites correctamente. Agradecería si alguien pudiera verificarlo.

Encuentra los siguientes límites:

1) $\lim_{x \to 0^{+}}\sqrt{x}cos(\frac{1}{x^2})$

Notemos que $-\sqrt{x}<\sqrt{x}cos(\frac{1}{x^2})<\sqrt{x}$ y dado que:

$\lim_{x \to 0^{+}}\sqrt{x}=\lim_{x \to 0^{+}}-\sqrt{x}=0$,

podemos concluir que $\lim_{x \to 0^{+}}\sqrt{x}cos(\frac{1}{x^2})=0$.

¿Podría simplemente escribir que $cos(\frac{1}{x^2})$ está acotado y que $\lim_{x \to 0^{+}}\sqrt{x}=0$ y a partir de esto concluir que el producto de estas funciones tiende a 0 (en lugar de lo que escribí arriba)?

2) $\lim_{x \to -\infty}\frac{sin(x^2)}{x}$

Notemos que $\lim_{x \to -\infty}\frac{1}{x}=0$ y $sin(x^2)$ está acotado, por lo tanto, $\lim_{x \to -\infty}\frac{sin(x^2)}{x}=0$.

3) $\lim_{x \to +\infty}\frac{2x+sin(x^2)}{3x+cos(\sqrt{x})}$

Notemos que $\frac{2x-1}{3x+1}<\frac{2x+sin(x^2)}{3x+cos(\sqrt{x})}<\frac{2x+1}{3x-1}$ y dado que:

$\lim_{x \to +\infty}\frac{2x-1}{3x+1}=\lim_{x \to +\infty}\frac{2x+1}{3x-1}=2/3$,

podemos concluir que $\lim_{x \to +\infty}\frac{2x+sin(x^2)}{3x+cos(\sqrt{x})}=2/3$.

4) $\lim_{x \to 0^{+}}\frac{2+sin(\frac{1}{x})}{x^3}$

Podemos escribir que $\frac{2-1}{x^3}<\frac{2+sin(\frac{1}{x})}{x^3}$, y dado que

$\lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{x^3}=+\infty$ entonces

$\lim_{x \to 0^{+}}\frac{2+sin(\frac{1}{x})}{x^3}=+\infty$.

Answer 1

Para el primer límite, tu argumento está definitivamente correcto, porque puedes fácilmente usar el teorema de que si puedes encontrar un vecindario del punto $x_{0}$, tal que la función $g(x)$ esté acotada ahí, y $lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) = 0$, entonces $lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)g(x) = 0.