Un subgrupo característico de todo el grupo

Question

Decimos que un subgrupo $H \leqslant G$ es característico en $G$ si para todo $\varphi \in \text{Aut}(G)$, tenemos $\varphi(H) = H$.

Ahora, supongamos que tenemos un subgrupo único $S \leqslant G$ que tiene cierta propiedad (por ejemplo, el centro de $G$). ¿Entonces es obvio que $S$ es característico en $G?

Pensando en cualquier isomorfismo como "renombrar", esto es claro, pero no sé si debería intentar sentarme a formular correctamente este problema y escribir la prueba de ello.

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Hice otra pregunta relacionada después de esto: Mapping between subgroups by an isomorphism.

Answer 1

Si $i:G_1\to G_2$ es un isomorfismo de grupos, y $S \le G_1$ tiene alguna propiedad teórica de grupo $P$ en $G_1$, entonces también $i(S)$ tiene esta propiedad teórica de grupo en $G_2.

Esto es cierto siempre que $P$ sea alguna propiedad expresable en el lenguaje de grupos, en cualquier lógica (de primer orden, de segundo orden, infinitaria, etc.). Esto es fácil de probar para cualquier propiedad específica (como "es el centro"), pero si quieres hablar de todas las propiedades primero necesitas especificar qué es una "propiedad".

Dependiendo de cuánta lógica conozcas, es posible que desees definir propiedad como "de primer orden" o "de segundo orden": Esto se hace por inducción: Cada igualdad entre términos es una fórmula, y también "$t \in S$" es una fórmula cuando $t$ es un término. Luego, las fórmulas están cerradas bajo negación, conjunción, implicación, cuantificación...

Una vez que has demostrado lo anterior, puedes aplicarlo al caso $G_1=G_2$.

(Como corolario: Todo subgrupo característico es un subgrupo normal.)